随机变量及其分布

分布函数变量区域左闭右开，概率密度则不要求。

分布概念

分布函数存在性

分布函数的充要条件是：

1. $F(x)$单调不减。
2. $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$。
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$。
4. $F(x)$右连续。

这也是下面的计算需要考虑的性质。

例题：设随机变量$X$的分布函数$F(x)$，判断$F(ax)$、$F(x^2+1)$、$F(x^3-1)$、$F(|X|)$是否可以做出分布函数。

解：逐个分析$F(g(x))$中的$g(x)$走向。

$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(ax)=a\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=a$，不满足。

由于$x^2+1$在$x\to -\infty$的趋向为$+\infty$而不是$-\infty$，$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x^2+1)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x^2+1)=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=1\ne 0$，不满足。

$F(x^3-1)$满足分布函数的四个条件，$g(x)=x^3-1$在两边趋向与原函数一致。

$F(|x|)$的$g(x)=|x|$在$x\to -\infty$的趋向为$+\infty$而不是$-\infty$，不满足$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$，不满足。

分布函数计算

这里所说的分布函数都是不定式，需要利用分布函数性质来换算。

例题：随机变量$X$的概率密度函数$f(x)$满足$f(1+x)=f(1-x)$，且${\int }_1^{2}f(x)\text{d}x=0.3$，则求分布函数$F(0)$的值。

解：已知$f(1+x)=f(1-x)$，所以$f(x)$关于$x=1$对称。所以${\int }_1^{+\infty }f(x)\text{d}x={\int }_1^{-\infty }f(x)\text{d}x=\frac{1}{2}$。

所以${\int }_1^{2}f(x)\text{d}x={\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=0.3$。

$F(0)={\int }_{-\infty }^{0}f(x)\text{d}x=1-{\int }_0^{+\infty }f(x)\text{d}x=1-{\int }_1^{+\infty }f(x)\text{d}x-{\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=0.2$。

概率密度存在性

分布函数的充要条件是：

1. $f(x)⩾0$。
2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\text{d}x=1$。

例题：随机变量$X$的概率密度函数$f(x)$，判断$f(2x)$、$f(2-x)$是否可以作出概率密度函数。

解：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(2x)\text{d}x=\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(2x)\text{d}(2x)=\frac{1}{2}\ne 1$，不满足。

${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(2-x)\text{d}x=-{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(2-x)\text{d}(2-x)$，令$2-x=t$，则$x\to -\infty$时$t\to +\infty$，$x\to +\infty$时$t\to -\infty$，$=-{\int }_{+\infty }^{-\infty }f(t)\text{d}t={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\text{d}t=1$。

概率密度计算

例题：随机变量$X$的分布函数和概率密度函数为$F(x)$，$f(x)$，求$-X$的分布函数和概率密度。

解：已知$F(x)=P\{X⩽x\}$，则$F^{\prime }(-x)=\{-X⩽x\}$，即$F^{\prime }(-x)=P\{X⩾-x\}=1-P\{X⩽-x\}=1-F(-x)$。

对$F^{\prime }(-x)$进行求导：$[1-F(-x){]}^{\prime }=f(-x)$。

例题：随机变量$X$的概率密度为$f(x)$，求随机变量$2X+3$的概率密度函数。

解：设$Y=2X+3$，所以$Y$的分布函数$F_Y(y)$为$F_Y(x)=P\{Y⩽x\}=P\{2X+3⩽x\}=P\left\{X⩽\frac{x-3}{2}\right\}={\int }_{-\infty }^{\frac{t-3}{2}}f(x)\text{d}x$。

所以其概率密度为$f_Y(x)=({\int }_{-\infty }^{\frac{x-3}{2}}f(x)\text{d}x{)}^{\prime }=\frac{1}{2}f\left(\frac{x-3}{2}\right)$。

一维随机变量

一维随机变量分布

二项分布

$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$（$k=0,1,\cdots ,n$，$0<p<1$），$X\sim B(n,p)$。

例题：已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1\\ 0,\text{其他}& \end{array}$，$Y$表示对$X$进行3次独立重复试验中出现事件$\left\{X⩽\frac{1}{2}\right\}$，求$P\{Y=2\}$。

解：已知对$X$进行独立重复试验，表示这个进行的是伯努利试验，从而$Y\sim B(n,p)$。又是3次，所以$Y\sim B(3,p)$。

只用求出这个$p$即$\left\{X⩽\frac{1}{2}\right\}$的概率就可以了。又已知$f(x)$。

$\therefore p=\left\{X⩽\frac{1}{2}\right\}={\int }_0^{\frac{1}{2}}2x\text{d}x=\frac{1}{4}$。$\therefore P\{Y=2\}=B\left(3,\frac{1}{4}\right)=\frac{9}{64}$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：这道题把「连续型」和「离散型」串起来了：先用连续随机变量 $X$ 的密度算出单次事件 $\{X\le \frac{1}{2}\}$ 的概率 $p$，这个 $p$ 就是一次伯努利试验的成功率；再把「重复 3 次、问成功 2 次」交给二项分布 $B(3,p)$ 求 $P\{Y=2\}=C_3^2{p}^2(1-p)$。记牢二项分布公式 $P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 即可。

💻 计算机专业视角

引导句：「先估一个事件概率、再重复 $n$ 次数成功次数」正是机器学习评估里的标准套路：把单条样本判对/判错看作伯努利试验，准确率就是 $p$，测试集上判对的条数服从二项分布——这也是用置信区间估计模型准确率、做 A/B 实验显著性检验的理论基础。蒙特卡洛模拟、随机化算法的成功率分析同样建立在这个模型上。

泊松分布

$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$（$k=0,1,\cdots ,n$，$\lambda >0$），$X\sim P(\lambda )$。

例题：设一本书的各页印刷错误的个数$X$服从泊松分布。已知只有一个和只有两个印刷错误的页数相同，则随机抽查的4页中无印刷错误的概率$p$为？

解：$\because P\{X=1\}=P\{X=2\}$，$\therefore \frac{{\lambda }^1}{1!}{e}^{-\lambda }=\frac{{\lambda }^2}{2!}{e}^{-\lambda }$，$\lambda =2$。

由于随机抽四页类似于伯努利试验是相互独立的，所以随机抽4页都无错误的概率为$[P\{X=0\}{]}^4=e^{-8}$。

几何分布

$P\{X=k\}=(1-p{)}^{k-1}p$（$k=0,1,\cdots ,n$，$0<p<1$），$X\sim G(p)$。

例题：袋中有8个球，其中3个白球5个黑球，现在任意从中取出4个球，若四个球中有2个黑球和2个白球则试验停止，否则将其放回袋中重新抽取直到满足条件，用$X$表示试验次数，则求$P\{X=k\}$。

解：由题目的停止，则说明这个题目的概率是服从几何分布的，最重要的就是求出单次满足事件概率$p$。

根据组合和乘法原理，$p=\frac{C_3^2{C}_5^2}{C_8^4}=\frac{3}{7}$。

则$P\{X=k\}={\left(\frac{4}{7}\right)}^{k-1}\cdot \frac{3}{7}$。

例题：已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}\ln 2,& x>0\\ 0,\text{其他}& \end{array}$，对$X$进行独立重复观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记$Y$为观测次数，求$Y$的概率分布。

解：由题目直到就停止，知道$Y\sim G(p)$。

又$p=P\{X⩾3\}={\int }_3^{+\infty }{2}^{-x}\ln 2\text{d}x=\frac{1}{8}$

这是对几何分布的变形，首先进行$k$次试验，第$k$次成功，所以要乘$p$，而因为是第2个成功，所以前面的$k-1$次中有$k-2$次失败和一次成功，所以一共$p^2(1-k{)}^{k-2}$。因为前面的成功的一次在$k-1$中任意一个地方就可以了，所以一共有$k-1$中可能性，要考虑到排列，所以还要乘$(k-1)$。

$\therefore P\{Y=k\}=(k-1){\left(\frac{1}{8}\right)}^2\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^{k-2}$。

均匀分布

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a⩽x<b\\ 1,& x⩾b\end{array}$，$X\sim U(a,b)$。

例题：已知随机变量$X\sim U(a,b)$（$a>0$）且$P\{0<X<3\}=\frac{1}{4}$，$P\{X>4\}=\frac{1}{2}$，求$X$的概率密度以及$P\{1<X<5\}$。

解：$\because P\{X>4\}=\frac{1}{2}$，4在其区间中点上，$\frac{a+b}{2}=4$。

$\because P\{0<X<3\}=\frac{1}{4}$，$3$若在$a$左边则概率为0，所以必然在右边。

$\therefore P\{a<X<3\}=\frac{1}{4}$，$P\{<3X<4\}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，$\frac{4-3}{b-a}=\frac{1}{4}$。

解得$a=2$，$b=6$，$X\sim U(2,6)=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4},& 2<x<6\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

$P\{1<X<5\}=\frac{5-2}{6-2}=\frac{3}{4}$。

例题：已知随机变量$X$在区间$[0,1]$上服从均匀分布，在$X=x$（$0<x<1$）的条件下随机变量$Y$在区间$[0,x]$上服从均匀分布。

(1)$(X,Y)$的概率密度。

解：$X$在区间$[0,1]$上服从均匀分布，则$X\sim f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0⩽x⩽1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

$Y$在$X=x$下均匀分布，则$f_{Y|X}(y|x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

$(X,Y)$联合概率=条件概率×边缘概率。

即$f(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

(2)$Y$的概率密度。

解：首先求$Y$的边缘概率密度，就需要积$X$。然后求$y$的区间，$XY$的联合区间是横坐标$[0,1]$到纵坐标$[0,1]$的下三角形，则$y\in [0,1]$。

然后求$Y$就在联合概率密度所规定的区间中画一条$y=y_0$的线，从左先交到的是$y=x$，所以下限就是$y$，后交的是$x=1$，所以上限为1。最后将$y$的联合分布函数放在中间，得到$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{\int }_y^1\frac{1}{x}\text{d}x=-\ln y,& 0<y<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

(3)概率$P\{X+Y>1\}$。

解：求$P\{X+Y>1\}$就是求一个区间的概率值，即$P\{(X,Y)\in G\}=\underset{G}{\iint }f(x,y)\text{d}x\text{d}y$。

所以$P\{X+Y>1\}=\underset{D}{\iint }\frac{1}{x}\text{d}\sigma$，$D=x+y>1\cap 0<y<x<1$。$\underset{D}{\iint }\frac{1}{x}\text{d}\sigma ={\int }_{\frac{1}{2}}^1\text{d}x{\int }_{1-x}^x\frac{1}{x}\text{d}y=1-\ln 2$。

指数分布

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array}$，$X\sim E(\lambda )$。

例题：已知随机变量$X\sim E(1)$，$a$为常数且大于0，求$P\{X⩽a+1|X>a\}$。

解：$P\{X⩽a+1|X>a\}=\frac{P\{a<X⩽a+1\}}{P\{X>a\}}=\frac{{\int }_a^{a+1}{e}^{-x}\text{d}x}{{\int }_a^{+\infty }{e}^{-x}\text{d}x}=1-\frac{1}{e}$。

也可以根据指数分布的无记忆性：$P\{X⩽a+1|X>a\}=1-P\{X>a+1|X>a\}=1-P\{X>1\}=P\{X⩽1\}=F(1)=1-\frac{1}{e}$。

例题：随机变量$X$服从参数为1的指数分布，求$P\{3>X>2|X>1\}$。

已知$F(X<x)=1-e^{-\lambda x}$，则$F(X>x)=e^{-\lambda x}$。且$2<X<3\cap 1<X=2<X<3$。

则$P\{3>X>2|X>1\}=\frac{P\{3>X>2\}}{P\{X>1\}}=\frac{P\{X>2\}-P\{X>3\}}{P\{X>1\}}=\frac{e^{-2}-e^{-3}}{e^{-1}}=e^{-1}-e^{-2}$。

正态分布

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$（$-\infty <x<+\infty$，$-\infty <\mu <+\infty$，$\sigma >0$），$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

例题：已知随机变量$X\sim N(0,1)$，对给定的$\alpha$（$0<\alpha >1$），数${\mu }_{\alpha }$满足$P\{X>{\mu }_{\alpha }\}=\alpha$，若$P\{|X|<x\}=\alpha$，求$x$。

解：$P\{X>{\mu }_{\alpha }\}=\alpha$即表示${\mu }_{\alpha }$为标准正态分布的上$\alpha$分位点。

又$P\{|X|<x\}=\alpha$，即$-x<X<x$的面积为$\alpha$，所以两边的面积各为$\frac{1-\alpha }{2}$，$P\{X<x\}=P\{X>x\}=\frac{1-\alpha }{2}$。

$\because$面积为$\alpha$的下标为$\alpha$，$\therefore$面积为$\frac{1-\alpha }{2}$的下标为$\frac{1-\alpha }{2}$，$x={\mu }_{\frac{1-\alpha }{2}}$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：正态分布的图像是对称的「钟形」，对称轴在均值 $\mu$ 处。上 $\alpha$ 分位点 ${\mu }_{\alpha }$ 就是「右尾巴面积恰好等于 $\alpha$ 的那个分界点」。求 $P\{|X|<x\}=\alpha$ 时，画图把中间一块面积 $\alpha$ 拿掉，剩下两侧各 $\frac{1-\alpha }{2}$，再去查对应的分位点即可——遇到正态分布题，先画对称图、标面积，几乎都能做出来。

💻 计算机专业视角

引导句：正态分布是统计与机器学习里最核心的分布：参数初始化、噪声建模、高斯过程、卡尔曼滤波都以它为基础。这里的「分位点」对应代码里的 ppf（百分点函数，正态 CDF 的反函数），是计算置信区间、设定异常检测阈值、做假设检验临界值的关键工具；标准化 $\frac{X-\mu }{\sigma }$ 则正是特征工程里的 z-score 归一化。

一维随机变量函数分布

例题：随机变量$X$服从$U(0,2)$，求随机变量$Y=X^2$在$(0,4)$内的概率分布密度$f_Y(y)$。

解：求概率分布密度函数，可以求出其积分概率分布函数，$F_Y(y)=P\{Y⩽y\}=P\{X^2⩽y\}=P\{-\sqrt{y}⩽X⩽\sqrt{y}\}$，又$X\sim U(0,2)$，所以$f(x)=\frac{1}{2}$。

则概率分布函数就是概率密度的积分，此时已经将$Y$变为了关于$X$的积分，$={\int }_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x)\text{d}x=2{\int }_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}\text{d}x=\frac{\sqrt{y}}{2}$。即$F_Y(y)=\frac{\sqrt{y}}{2}$。

则$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=\frac{1}{4\sqrt{y}}$。

二维随机变量

使用定义法则直接用二重积分的分布函数来求，使用卷积公式则使用概率密度。

二维离散型随机变量

二维连续型随机变量

有两种主要方法，一个是分布函数法，一个是卷积公式法。如果给出联合概率密度使用分布函数法，如果给出边缘概率密度使用卷积公式法。

联合概率

联合概率密度

利用联合概率函数来计算，有两种方式，一种是以概率形式，一种是以积分形式。

例题：已知二维随机变量$(X_1,X_2)$的概率密度函数$f_1(x_1,x_2)$，求$Y_1=2X_1$，$Y_2=\frac{1}{3}{X}_2$的联合概率密度$f_2(y_1,y_2)$。

解：概率形式：设$F_2(y_1,y_2)=P\{Y_1⩽y_1,Y_2⩽y_2\}=P\{2X_1⩽y_1,\frac{1}{3}{X}_2⩽y_2\}=P\{X_1⩽\frac{y_1}{2},X_2⩽3y_2\}=F_1(\frac{y_1}{2},3y_2)$。所以$f_2(y_1,y_2)=\frac{3}{2}{f}_1(\frac{y_1}{2},3y_2)$。

积分形式：已知${\int }_{-\infty }^{+\infty }\text{d}{x}_1{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x_1,x_2)\text{d}{x}_2=1$，将$x_1=\frac{y_1}{2}$，$x_2=3y_2$代入${\int }_{-\infty }^{+\infty }\text{d}(\frac{y_1}{2}){\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\frac{y_1}{2},3y_2)\text{d}(3y_2)=1$，$\frac{3}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\text{d}{y}_1{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\frac{y_1}{2},3y_2)\text{d}{y}_2=1$，所以$f_2(y_1,y_2)=\frac{3}{2}{f}_1(\frac{y_1}{2},3y_2)$。

联合概率函数

已知联合概率密度，可以求概率函数，通过二重积分的方式，图像面积即是概率。

例题：已知概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6,& 0<x^2<y<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求$P\left\{X>\frac{1}{2}\right\}$，$P\left\{Y<\frac{1}{2}\right\}$。

解：

$P\left\{X>\frac{1}{2}\right\}=6{\int }_{\frac{1}{2}}^1\text{d}x{\int }_{x^2}^x\text{d}y=6{\int }_{\frac{1}{2}}^1(x-x^2)\text{d}x=6\left(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right){|}_{\frac{1}{2}}^1=\frac{1}{2}$。

$P\left\{Y<\frac{1}{2}\right\}=6{\int }_0^{\frac{1}{2}}\text{d}y{\int }_y^{\sqrt{y}}\text{d}x=6{\int }_0^{\frac{1}{2}}(\sqrt{y}-y)\text{d}y=\sqrt{2}-\frac{3}{4}$。

边缘概率

边缘概率函数

往往是已知联合概率函数$F(x,y)$求边缘概率函数$F_X(x)$、$F_Y(y)$，需要将联合概率函数中的$x/y\to +\infty$，然后求这个函数的极限值。

例题：如果二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-{\lambda }_{1}x}-e^{-{\lambda }_{2}y}+e^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-\lambda 12\max \{x,y\}},& {\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_{12}>0,x>0,y>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求$XY$各自的边缘分布函数。

解：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\max \{x,y\}=x=+\infty$，$\underset{y\to +\infty }{\lim }\max \{x,y\}=y=+\infty$。

$F_X(x)=F(x,+\infty )=1-e^{-{\lambda }_{1}x}-0+0=1-e^{-{\lambda }_{1}x}$，$x>0$，当其他时$=0$。

$F_Y(y)=F(+\infty ,y)=1-0-e^{-{\lambda }_{2}y}+0=1-e^{-{\lambda }_{2}x}$，$y>0$，当其他时$=0$。

边缘概率密度

往往是已知联合概率密度$f(x,y)$求边缘概率密度$f_X(x)$、$f_Y(y)$，需要将联合概率密度对另一个变量进行上下限无穷的一重积分，如果$xy$有上下限的定义域则需要画出图像取交集。

确定上下限时要注意，如果求$x$的边缘分布对$y$积分，表示$x$不动，求$y$的范围，求$y$的则反之。

例题：求$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{4}(x^2+y),& 0<y<1-x^2\\ 0,\text{其他}& \end{array}$的边缘概率密度。

如果求$x$的边缘概率密度，则$y$的取值范围为最底部的0到函数$1-x^2$。如果求$y$的边缘密度，则发现$D$为对称函数，所以可以拆为左右两个部分，$x$的范围是$0$到函数$\sqrt{1-y}$。

$f_X(x)=\frac{5}{4}{\int }_0^{1-x^2}{x}^2+y\text{d}y=\frac{5}{4}\left(x^{2}y+\frac{y^2}{2}\right){|}_0^{1-x^2}=-\frac{5}{8}{x}^4+\frac{5}{8}$。

$f_Y(y)=2\frac{5}{4}{\int }_0^{\sqrt{1-y}}{x}^2+y\text{d}x=\frac{5}{2}\left(\frac{x^3}{3}+yx\right){|}_0^{\sqrt{1-y}}=\frac{5}{6}(1-y)\sqrt{1-y}+\frac{5}{2}y\sqrt{1-y}$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：求边缘密度就是「把不关心的那个变量积分掉」：求 $f_X(x)$ 就对 $y$ 积分，求 $f_Y(y)$ 就对 $x$ 积分。最容易错的是积分上下限——一定要先画出联合密度的定义域 $D$，再固定一个变量、看另一个变量在 $D$ 里能取到的范围。这道题 $D$ 关于 $y$ 轴对称，所以对 $x$ 积分时取右半支再乘 2。

💻 计算机专业视角

引导句：「积掉一个变量得到另一个变量的分布」就是概率里的边缘化（marginalization），在概率图模型、贝叶斯推断中无处不在：联合分布 $p(x,y)$ 求 $p(x)=\int p(x,y)dy$ 正是这一步。连续情形的积分在工程里常用数值积分或采样近似，而「先确定积分区域再定限」对应蒙特卡洛积分里对支撑集（support）的采样设计。

二维均匀分布

二维正态分布

概率密度为：

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2-2\rho \left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]\right\}$$

其中${\mu }_1,{\mu }_2\in R$，${\sigma }_1,{\sigma }_2>0$，$-1<\rho <1$。

正态分布性质

例题：$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;0)$，分布函数为$F(x,y)$，已知$F({\mu }_1,y)=\frac{1}{4}$，求$y$。

解：当$\rho =0$时，$F(X,Y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{e}^{-\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]}=F_X(x)F_Y(y)$，即$XY$相互独立。

$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2)$，$F_X({\mu }_1)=P\{X⩽{\mu }_1\}=\frac{1}{2}$。

$F({\mu }_1,y)=F_X({\mu }_1)F_Y(y)=\frac{1}{2}{F}_Y(y)=\frac{1}{4}$，则$F_Y(y)=\frac{1}{2}$，即根据性质$y={\mu }_2$。

标准正态化

$F(x)=P\{X⩽x\}=P\left\{\frac{X-\mu }{\sigma }⩽\frac{x-\mu }{\sigma }\right\}=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$。

即将$XY$的相关系数消去。

例题：设随机变量$(X,Y)$的分布函数为$\Phi (2x+1)\cdot \Phi (2y-1)$，其中$\Phi (x)$为标准正态分布函数，求$(X,Y)$的分布函数。

解：由分布函数为$\Phi (2x+1)\Phi (2y-1)$是$X$的分布函数和$Y$的分布函数的乘积，所以可知$XY$相互独立。

所以根据标准化公式：$\Phi (2x+1)\cdot \Phi (2y-1)=\Phi \left(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right)\Phi \left(\frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right)$。

$\therefore (X,Y)\sim N\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{1}{4},\frac{1}{4};0\right)$。

二维随机变量函数分布

离散型

连续型

可以使用卷积公式法和分布函数法两种。

和的分布

例题：随机变量$(X,Y)$的概率密度函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y\\ 0,\text{其他}& \end{array}$，求$P\{X+Y⩽1\}$。

解：根据$X+Y⩽1$和$0<x<y$划分区域：

其中积分区域$D$如图所示，所以$P\{X+Y⩽1\}=\underset{D}{\iint }{e}^{-y}\text{d}x\text{d}y={\int }_0^{\frac{1}{2}}\text{d}x{\int }_x^{1-x}{e}^{-y}\text{d}y={\int }_0^{\frac{1}{2}}(e^{-x}-e^{x-1})\text{d}x=1+e^{-1}-2e^{-\frac{1}{2}}$。

差的分布

例题：设$X\sim N(\mu ,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N(2\mu ,{\sigma }_2^2)$，$XY$相互独立，已知$P\{X-Y⩾1\}=\frac{1}{2}$，求$\mu$。

解：若$X\sim N(\mu ,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N(2\mu ,{\sigma }_2^2)$，则$X-Y\sim (-\mu ,{\sigma }_1^2-{\sigma }_2^2)$。则$X-Y$的均值为$-\mu$，即其图像的对称轴为$-\mu$。

又$P\{X-Y⩾1\}=\frac{1}{2}$，则$X-Y$在$1$这里均分，则对称轴为$1$，即$\mu =-1$。

混合型

使用全概率公式根据离散变量进行概率拆分。

例题：设随机变量$X_1$和$X_2$相互独立，已知$X_1\sim B\left(1,\frac{3}{4}\right)$，$X_2$的分布函数为$F(x)$，求$Y=X_1+X_2$的分布函数$F_Y(y)$。

解：已知$X_1\sim B\left(1,\frac{3}{4}\right)$，$X_2$的分布函数为$F(x)$，则$Y$为混合型。

则$P\{X_1=0\}=C_1^0{\frac{3}{4}}^0{\frac{1}{4}}^1=\frac{1}{4}$，$P\{X_1=1\}=C_1^1{\frac{3}{4}}^1{\frac{1}{4}}^0=\frac{3}{4}$。

$F_Y(y)=P\{X_1+X_2⩽y\}=P\{X_1+X_2⩽y|X_1=0\}P\{X_1=0\}+P\{X_1+X_2⩽y|X_1=1\}P\{X_1=1\}=P\{X_2⩽y|X_1=0\}P\{X_1=0\}+P\{1+X_2⩽y|X_1=1\}P\{X_1=1\}$，由相互独立性$=\frac{1}{4}\cdot P\{X_2⩽y\}+\frac{3}{4}\cdot P\{X_2⩽y-1\}$。

根据分布函数定义，则$F_Y(y)=\frac{1}{4}\cdot F(y)+\frac{3}{4}\cdot F(y-1)$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：当一个随机变量既有离散成分又有连续成分（这里 $X_1$ 离散、$X_2$ 连续），求 $Y=X_1+X_2$ 的分布用全概率公式把离散变量的每个取值拆开讨论：$F_Y(y)={\sum }_{k}P\{Y\le y\mid X_1=x_k\}P\{X_1=x_k\}$。把每个条件下的 $Y$ 化成只含 $X_2$ 的事件，再用 $X_2$ 的分布函数表示，加权求和即可。

💻 计算机专业视角

引导句：「按离散变量取值分情形、加权合并」就是混合模型（mixture model）的雏形：高斯混合模型 GMM 的密度 ${\sum }_k{\pi }_k\mathcal{N}({\mu }_k,{\sigma }_k^2)$ 正是这种「先选一个分量、再在该分量下取值」的结构，权重 ${\pi }_k$ 对应这里的 $P\{X_1=x_k\}$。全概率公式也是隐变量模型、EM 算法、条件期望分解的基本工具。