矩阵（习题）

矩阵幂

💻 计算机专业视角

引导句：矩阵幂 $A^n$ 是工程里的高频操作：马尔可夫链的 $n$ 步转移概率是转移矩阵的 $n$ 次幂，图论中邻接矩阵的 $k$ 次幂给出长度为 $k$ 的路径数，斐波那契数列也能写成 $2\times 2$ 矩阵的幂从而用快速幂在 $O(\log n)$ 算出。本节「找规律 / 二项式拆分 / 相似对角化」三种手算技巧，对应代码里就是「先把矩阵化简（对角化）再幂、或用倍增快速幂」——直接连乘 $n$ 次太慢。

🌱 大一新生提示

一句话提示：求 $A^n$ 不要傻乘 $n$ 次，先观察矩阵结构挑套路：①秩为 1（各行成比例）→ $A^n=[\mathrm{tr}(A){]}^{n-1}A$；②试算 $A^2$ 发现是数量阵 $kE$ → 分奇偶；③能拆成 $E+B$ 且 $B$ 幂零（$B^k=O$）→ 用二项式展开只剩前几项。先认出属于哪一类，再套对应公式。

对应成比例

因为矩阵运算不满足交换率但是满足结合率，且一行矩阵乘一列矩阵的乘积为一个数，所以可以推出矩阵的幂的运算方法。

这个方法要求$r(A)=1$，即对应成比例。

令$A$为$n$阶方阵，将$A$拆为$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T(b_1,b_2,\cdots ,b_n)={\alpha }^T\beta$，所以$A^n={\alpha }^T\beta {\alpha }^T\beta \cdots {\alpha }^T\beta$，利用结合率：${\alpha }^T(\beta {\alpha }^T)(\beta \cdots {\alpha }^T)\beta$，中间一共$n-1$个$\beta {\alpha }^T$，$\beta {\alpha }^T$是一个数，即$A^n=(\beta {\alpha }^T{)}^{n-1}{\alpha }^T\beta =(\beta {\alpha }^T{)}^{n-1}A$。

例题：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -2& -4& -6\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$，求$A^n$。

解：$A=(1,-2,3{)}^T(1,2,3)$，所以$A^n=((1,2,3)(1,-2,3{)}^T{)}^n(1,-2,3{)}^T(1,2,3)$

$=6^{n-1}A$。

若矩阵$A$的行与列都成比例，则$A^n=[tr(A){]}^{n-1}A$，$[tr(A)]=\sum a_{ii}$，即矩阵迹为对角线元素值之和。

试算归纳

对$A$进行试算，如$A^2$，若$A^k$是一个数量阵，那么计算$A^n$就只用找规律就可以了。

例题：$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& -1\\ -1& 1& -1& -1\\ -1& -1& 1& -1\\ -1& -1& -1& 1\end{array}\right)$，求$A^n$（$n⩾2$）。

解：通过计算得知$A^2=4E$，这是一个数量阵。

$\therefore A^n=\{\begin{array}{lcl}{4}^{k}E,& & n=2k\\ 4^{k}A,& & n=2k+1\end{array}$。

行列结合

将一个矩阵拆成$\alpha {\beta }^T$的形式，其中都是列向量，从而进行幂运算可以进行结合${\beta }^T\alpha$为一个常数。

例题：设$\alpha =(1,3,-2{)}^T$，$\beta =(2,0,0{)}^T$，$A=\alpha {\beta }^T$，求$A^3$。

解：$\because {\beta }^T\alpha =[2,0,0][1,3,-2{]}^T=2$，$\therefore A^3=(\alpha {\beta }^T)(\alpha {\beta }^T)(\alpha {\beta }^T)=\alpha ({\beta }^T\alpha )({\beta }^T\alpha ){\beta }^T=4\alpha {\beta }^T=4A$。

拆分矩阵

将$A^n$拆分为两个矩阵$A^n=(B+C{)}^n$，其中$BC$应该是可逆的，即$BC=CB$，所以一般有一个是$E$。

例题：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，求$A^n$。

解：$A=E+B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。

$\therefore A^n=(E+B{)}^n=C_n^0{E}^n+C_n^1{E}^{n-1}B+C_n^2{E}^{n-2}{B}^2+\cdots$。

又$B^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。

$B^3=B^{2}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=O$。

$\therefore B^4=B^5=\cdots =O$。

$\therefore A^n=(E+B{)}^n=C_n^0{E}^n+C_n^1{E}^{n-1}B+C_n^2{E}^{n-2}{B}^2$。

$=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)+\frac{n(n-1)}{2}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

分块矩阵

${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& O\\ O& B^n\end{array}\right]$。

初等变换

💻 计算机专业视角

引导句：每个初等行变换都等价于左乘一个初等矩阵，整套高斯消元就是「连续左乘一串初等矩阵」，把它们乘起来就得到本题要求的变换矩阵 $P$（满足 $PA=B$）。这正是 LU 分解的来历：消元用的那些初等矩阵的逆按序乘起来就是下三角 $L$。理解「行变换 = 左乘矩阵、列变换 = 右乘矩阵」，是看懂几乎所有矩阵分解算法的钥匙。

🌱 大一新生提示

一句话提示：求满足 $PA=B$ 的 $P$，就一步步把 $A$ 用行变换变成 $B$，每做一步就写下对应的初等矩阵 $E_{ij}(k)$（表示「第 $i$ 行加上第 $j$ 行的 $k$ 倍」），最后把这些初等矩阵按相反顺序（后做的在左边）乘起来就是 $P$。记住：行变换全部对应左乘。

若$A$和$B$等价，求一个可逆矩阵$P$，使得$PA=B$。只用右乘$P=B{A}^{-1}$。

需要根据逻辑上的计算还原出左乘的初等矩阵。

例题：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& -1& 1\\ 0& 2& -4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，当$A\sim B$时，求$P$使得$PA=B$。

解：目标是将$A$变为$B$，所以第一步将第一列的第二行的-1变为0。即将第一行加到第二行。

左乘$E_{21}(1)A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& -1& 1\\ 0& 2& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 2& -4\end{array}\right)=C$。

然后对第二列进行消，首先将第三行加上第二行的两倍。

$E_{32}(2)C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 2& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& -1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=B$。

$\therefore E_{32}(2)E_{21}(1)A=B$。

$P=E_{32}(2)E_{21}(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$。

逆矩阵

💻 计算机专业视角

引导句：注意一个反差：理论上 $A^{-1}$ 很重要，但数值计算里几乎从不显式求逆。解 $Ax=b$ 时，x = inv(A)*b 比 x = A\b（LU 分解 / 三角回代）慢且误差大——这是数值线代第一条戒律。本节的「初等行变换 $[A\mid E]\to [E\mid A^{-1}]$」正是高斯-若尔当消元，也是教科书求逆的标准算法；而分块求逆公式在大规模问题里用于把大矩阵拆成小块并行处理（如卡尔曼滤波、Schur 补）。

🌱 大一新生提示

一句话提示：求逆矩阵的三大套路：①定义/凑因式——从已知等式里凑出 $(A-E)(B-E)=E$ 这种形式，括号里那个就是逆；②初等行变换——把 $[A\mid E]$ 一路消成 $[E\mid A^{-1}]$，右半边就是答案；③分块矩阵——对角块分别求逆。考试中「证明某矩阵可逆并求逆」基本都是套路①，关键是往 $XY=E$ 的形状凑。

定义法

找出一个矩阵$B$，使得$AB=E$，则$A$可逆，$A^{-1}=B$。

例题：$A$，$B$均是$n$阶方阵，且$AB=A+B$，证明$A-E$可逆，并求$(A-E{)}^{-1}$。

解：要证明$A-E$，就要从$AB=A+B$中尽量凑出。

$AB=A+B$变为$AB-B=A$，从而提取$(A-E)B=A$，$(A-E)B{A}^{-1}=E$。

但是$A^{-1}$是未知的，所以$A-E$的逆矩阵不能用$B{A}^{-1}$来表示。

$AB-A=B$，所以提出$A(B-E)=B$，即$A(B-E)=B-E+E$，$(A-E)(B-E)=E$，所以$A-E$的逆矩阵就是$B-E$。

分解乘积

将$A$分解为若干个可逆矩阵的乘积。若$A=BC$，$B$，$C$可逆，则$A$可逆，且$A^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$。同理$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$。

例题：设$A$，$B$为同阶可逆方阵，且$A^{-1}+B^{-1}$可逆，求$(A+B{)}^{-1}$。

解：已知$A^{-1}+B^{-1}$可以用来表示其他式子，需要求$A+B$的逆，则需要将$A+B$转为其逆。

$\because A+B=A(E+A^{-1}B)=A(B^{-1}+A^{-1})B$。

$\therefore (A+B{)}^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}$。

初等变换

$\left[A⋮E\right]\stackrel{r}{\sim }\left[E⋮A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right]\stackrel{c}{\sim }\left[\begin{array}{c}E\\ A^{-1}\end{array}\right]$。

分块矩阵

基于拉普拉斯展开式。

对于一些分块矩阵的逆，若$A$，$B$都可逆，则：${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right]$，${\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right]$。

例题：已知$A=\left(\begin{array}{cc}B& O\\ D& C\end{array}\right)$，其中$B$为$r\times r$可逆矩阵，$C$为$s\times s$可逆矩阵，求$A^{-1}$。

解：$\because |A|=\left|\begin{array}{cc}B& O\\ D& C\end{array}\right|=|B||C|\ne 0$，所以$A$可逆，设$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right)$。

$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& E_s\end{array}\right)=E_{r+s}$。即$\left(\begin{array}{cc}BX& BY\\ DX+CZ& DY+CW\end{array}\right)=E_{r+s}$。

$\therefore \{\begin{array}{l}BX=E\\ BY=O\\ DX+CZ=O\\ DY+CW=E\end{array}$，$\{\begin{array}{ll}{B}^{-1}BX=B^{-1},& X=B^{-1}\\ B^{-1}BY=O,& Y=O\\ CZ=-DX=-D{B}^{-1},& Z=-C^{-1}D{B}^{-1}\\ CW=E,& W=C^{-1}\end{array}$。

$\therefore A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{B}^{-1}& O\\ -C^{-1}D{B}^{-1}& C^{-1}\end{array}\right)$。

当分块矩阵为三角矩阵时，对角线为原方块矩阵的逆矩阵，非0的一角为原矩阵，再左乘同行的逆矩阵，右乘同列的逆矩阵。

$\therefore A=\left(\begin{array}{cc}B& D\\ O& C\end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{B}^{-1}& -B^{-1}D{C}^{-1}\\ O& C^{-1}\end{array}\right)$。

当分块矩阵为副对角矩阵时，对角线为对角方块矩阵的逆矩阵，非0的一角为原矩阵，再左乘同行的逆矩阵，右乘同列的逆矩阵。

$\therefore A=\left(\begin{array}{cc}O& B\\ C& D\end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-C^{-1}D{B}^{-1}& C^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right)$。

$\therefore A=\left(\begin{array}{cc}D& B\\ C& O\end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& C^{-1}\\ B^{-1}& -C^{-1}D{B}^{-1}\end{array}\right)$。

$A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_n\end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & A_n^{-1}\end{array}\right)$。

$A=\left(\begin{array}{ccc}& & A_1\\ & \ddots & \\ A_n& & \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}& & A_n^{-1}\\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ A_1^{-1}& & \end{array}\right)$。

例题：已知矩阵$A$的伴随矩阵$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}4& -2& 0& 0\\ -3& 1& 0& 0\\ 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$，求$A$。

解：由于$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$，所以$A=|A|(A^{\ast }{)}^{-1}$。已知$A^{\ast }$可知$(A^{\ast }{)}^{-1}$，所以重点就是求$|A|$。

又$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$，$|A^{\ast }|=-8$，$|A|=-2$。

所以根据分块矩阵的逆运算，可以得到$(A^{\ast }{)}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{2}& -1& 0& 0\\ -\frac{3}{2}& -2& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{4}& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$。

所以$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$。

伴随矩阵

伴随矩阵一般只会计算三阶以及以下。

伴随矩阵和逆矩阵往往共同参与运算，并有许多公式。

1. $(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{A}{|A|}$。
2. $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。
3. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$。

证明关系式一，由于$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，$(A^{\ast }{)}^{-1}=(|A|A^{-1}{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}(A^{-1}{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$。

证明关系式二，对$A^{\ast }=|A|A^{-1}$两边取行列式，得到$|A^{\ast }|=||A|A^{-1}|=|A{|}^n|A^{-1}|=\frac{|A{|}^n}{|A|}=|A{|}^{n-1}=\frac{1}{|A^{-1}{|}^{n-1}}$。

证明关系式三，对$(A^{\ast }{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}|A^{\ast }|=(|A|A^{-1}{)}^{-1}|A{|}^{n-1}=|A{|}^{-1}A|A{|}^{n-1}=|A{|}^{n-2}A$。

方阵行列式

两项积商

1. $|A^T|=|A|$。
2. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$。
3. $|\lambda A|={\lambda }^n|A|$。
4. $|AB|=|A|\cdot |B|=|BA|$。
5. $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。

因为两项积商比较简单，所以基本上会变换$A$和$B$，让其变为转置或逆矩阵。

两项和差

两项和差需要将方阵拆分为向量组的形式，然后根据矩阵与行列式的运算法则进行运算。（注意其中的差别）

例题：设四阶方阵$A=[\alpha ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4]$，$B=[\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4]$，其中$\alpha$、$\beta$、${\gamma }_i$均为四维向量，且$|A|=5$，$|B|=-\frac{1}{2}$，求$|A+2B|$。

解：$=|[\alpha ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4]+2[\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4]|=|[\alpha +2\beta ,3{\gamma }_2,3{\gamma }_3,3{\gamma }_4]|=27|[\alpha +2\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4]|=27|[\alpha ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4]|+54|[\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4]|=27(|A|+2|B|)=108$。

矩阵方程

含有未知矩阵的方程就是矩阵方程，需要将方程进行恒等变形，化为$AX=B$、$XA=B$或$AXB=C$的形式。

若$A$、$B$可逆，且可以分别得到$X=A^{-1}B$，$X=B{A}^{-1}$，$X=A^{-1}C{B}^{-1}$。

直接化简

例题：设3阶方阵$A$，$B$满足$A^{-1}BA=6A+BA$，且$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{5}\end{array}\right)$，求$B$。

解：$A^{-1}BA=(6E+B)A$，$A^{-1}B=6E+B$，$A^{-1}B-B=6E$，$(A^{-1}-E)B=6E$。

$\therefore B=6(A^{-1}-E{)}^{-1}$。

凑目标式

有时候直接化简非常麻烦，因为所求的式子很复杂，甚至出现结果不能得到的情况。

例题：已知$AB=A+B$，其中$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$，求$(A-E{)}^{-1}$。

解：已知$AB=A+B$，求$A-E$，则向目标计算。

$AB-B=A$，即$(A-E)B=A$，$(A-E{)}^{-1}=B{A}^{-1}$。因为$A$未知，所以要消去$A$。

根据$AB=A+B$，得到$AB-A=B$，即$A(B-E)=B$，$A^{-1}=(B-E)B^{-1}$。

$(A-E{)}^{-1}=B{A}^{-1}=B(B-E)B^{-1}$，然后就不知道接下来怎么办了。

我们很希望$B{B}^{-1}$在一起消掉，但是无论如何操作都无法完成。但是也可以通过此得到解题的启示，按$(A-E)(B-E)$去凑。

回到$(A-E)B=A$，去凑$B-E$，先尝试两边减去$E$，得到$(A-E)B-E=A-E$，正好左移右项$(A-E)(B-E)=E$，解得$(A-E{)}^{-1}=B-E$。

即$=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

矩阵秩

💻 计算机专业视角

引导句：秩是机器学习与数据压缩里的核心量：它等于矩阵真正「独立」的行/列数，也就是数据的本征维度。低秩近似（用 SVD 取前 $k$ 个奇异值）是图像压缩、推荐系统、PCA 降维的共同底座——把一个秩很高但「近似低秩」的矩阵换成低秩矩阵，用极少存储保留绝大部分信息。本节用初等变换数非零行求秩，正是数值上 rank 函数的原理；不过浮点下要靠 SVD 判断「数值秩」（多少奇异值显著大于 0），比理论消元稳健。

🌱 大一新生提示

一句话提示：秩 $r(A)$ 就是把矩阵用行变换化成阶梯形后非零行的个数。带参数求秩的题，先化简到阶梯形，让结论行只剩含参表达式，再讨论参数让它为零/非零。运算题记牢几条不等式：$r(AB)⩽\min \{r(A),r(B)\}$、$r(A+B)⩽r(A)+r(B)$，以及 $A^{\ast }$ 的秩按 $r(A)$ 是 $n$、$n-1$、还是更小分成 $n,1,0$ 三种。

未知参数

已知一个矩阵的秩，求其矩阵中的参数。需要将矩阵简化，使得最下面的一行除了参数没有别的非零常数。

例题：已知$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& a& 4\\ 1& 0& 2& a\\ -1& a& 1& 0\end{array}\right]$，$r(A)=3$，求$A$。

解：首先对$A$化简：$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& a& 4\\ 0& 1& a-2& 4-a\\ 0& 0& (a+1)(3-a)& a(a-3)\end{array}\right]$，若$r(A)=3$，则$(a+1)(3-a)$与$a(a-3)$不全为0，所以$a\ne 3$。

矩阵运算

给出几个矩阵，进行矩阵运算求出对应的秩。

$r(kA)=r(A)$。

$r(AB)⩽\min \{r(A),r(B)\}$。当且仅当$AB$满秩等号成立。

$r(A+B)⩽r(A|B)⩽r(A)+r(B)$。

$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}n,r(A)=n\\ 1,r(A)=n-1\\ 0,r(A)<n-1\end{array}$。

例题：已知$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& -1& 2\\ 0& -1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$，求$r(AB+2A)$。

解：$r(AB+2A)=r(A(B+2E))$。又$B+2E=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 2\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 3& 4\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right]$，$r(B+2E)=4$。

又$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& -1& -2& -3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$。

所以$r(A)=2$，$r(AB+2A)=\min \{r(A),r(B+2E)\}=2$。

矩阵等价

其实求等价矩阵就是判定其秩是否相等。

行列式变换

注意如果携带参数，要保证乘除的参数式子不为0。

行列式

只有矩阵可逆，即满秩时行列式才不为0，否则为0。