无穷级数

常数项级数

正项级数

如果题目中没有说明，要首先证明多项式为正数，否则不能使用正项级数的方法。

放缩法

即根据收敛准则来进行判断。如果要判断原级数收敛，则辅助级数应该是对其放大，判断原级数发散，则辅助级数应该是对其缩小。

比较判别法

都需要找到一个好的级数进行比较。常用的只有两个：

$p$级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}p>1,\text{收敛}\\ p⩽1,\text{发散}\end{array}$。

等比级数（几何级数）：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a}{q}^{n-1}\{\begin{array}{l}|q|<1,\text{收敛}\\ |q|⩾1,\text{发散}\end{array}$。

当不知道用哪个时可以使用洛必达先计算一下极限值。

比值判别法

适用于含有$a^n$，$n!$，$n^n$的通项。主要是$n!$。

例题：判断$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}$。

解：利用比值判别法，令$a_n=\frac{n!}{n^n}$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\frac{n^n}{n!}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^n}{(n+1{)}^n}$，注意这里幂也为变量，不是等于1而是上下同时除以$n^n$，$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}$，根据两个重要极限得到$=\frac{1}{e}<1$，所以收敛。

🌱 大一新生提示

一句话提示：看到通项里有 $n!$、$a^n$、$n^n$ 优先用比值判别法：算 $\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$，$\rho <1$ 收敛、$\rho >1$ 发散、$\rho =1$ 失效（要换别的方法）。这里的关键技巧是 $\frac{n^n}{(n+1{)}^n}=\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}\to \frac{1}{e}$。

💻 计算机专业视角

引导句：比值判别法 $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ 正是几何收敛（线性收敛）的判据。在迭代算法（如梯度下降、不动点迭代）中，相邻误差之比小于 1 意味着误差以等比速率衰减，这个「比值 = 收敛速率」的直觉贯穿整个数值优化的收敛性分析。

根值判别法

适用于含有$a^n$，$n^n$的通项。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$。

积分判别法

例题：判断级数$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$的敛散性。

解：因为$\frac{1}{n\ln n}<\frac{1}{n}$，调和级数发散，所以比较判别法找不到一个较好的辅助级数。同理根据级数形式比值和根值判别法都无法使用。

令$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$a_n=f(n)$，在$[2,+\infty )$上$\frac{1}{n\ln n}$单调减且非负。

级数$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$与${\int }_2^{+\infty }\frac{\text{d}x}{x\ln x}$同敛散。

$=\ln \ln x{|}_2^{+\infty }=+\infty$，所以原级数发散。

交错级数

幂级数

收敛域

基本方法

使用比值或根值法进行求解。

例题：求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{e^n-(-1{)}^n}{n^2}{x}^n$的收敛半径。

解：

比值法：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e^{n+1}-(-1{)}^{n+1}}{(n+1{)}^2}\frac{n^2}{e^n-(-1{)}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e+(\frac{-1}{e}{)}^n}{1-(\frac{-1}{e}{)}^n}$。

又$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{ll}0& |x|<1\\ \infty & |x|⩾1\end{array}$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{-1}{e}\right)}^n=0$，原式$=e$。$R=\frac{1}{e}$。

根值法：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{e^n-(-1{)}^n}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e\sqrt[n]{1-(-\frac{-1}{e}{)}^n}}{\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{n}}$，又$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$。

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e\sqrt[n]{1-0}}{1\cdot 1}=e$，所以$R=\frac{1}{e}$。

缺项变换

若求$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n+1}$或$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}$，则求出其$\rho$，$R=\sqrt{\frac{1}{\rho }}$。

例题：求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n+(-3{)}^n}{x}^{2n-1}$的收敛半径。

解：由于分母都是幂函数，所以使用根值法：$=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\lim }}\sqrt[n]{|a_n|}=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\lim }}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{3^n+(-2{)}^n}}=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\lim }}\frac{1}{\sqrt[n]{1+(-\frac{2}{3}{)}^n}}=\frac{1}{3}$。

所以$R=3$。注意这里是错误的，因为之前求收敛域时都是$x^n$，而这里是$x^{2n-1}$，只有奇数次项，所以幂级数的一半都没有了。

$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x^2{)}^n$，当前已知收敛半径为$3$，即$|x^2|<3$，即$|x|<\sqrt{3}$。

收敛域变换

例题：已知幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x+2{)}^n$在$x=0$处收敛，在$x=-4$处发散，求$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-3{)}^n$的收敛域。

解：根据阿贝尔定理，已知在$x=0$处收敛，且中心点在$x=-2$，则收敛区间为$(-4,0)$，在$x=-4$处发散，则$x<-4$，$x>0$处发散。

然后确定两端端点敛散性，$x=0$处收敛则收敛域包括$x=0$，$x=-4$处发散则收敛域不包括$x=-4$，得到收敛域$(-4,0]$。

对于$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-3{)}^n$的中心点为$x=3$，则根据相对位置收敛域为$(1,5]$。

常数项级数变换

可以代入特殊点确定收敛点，将幂级数转换为常数项级数。

例题：若级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$条件收敛，求幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^n$的收敛区间。

解：已知$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n$条件收敛，则对于幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^n$而言在$x=2$处条件收敛，即得到以中心点$x=1$的收敛区间$(0,2)$。

函数展开

因式分解

例题：将函数$f(x)=\frac{1}{x^2-3x-4}$展开为$x-1$的幂级数并指出收敛区间。

解：$\frac{1}{x^2-3x-4}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right)$。

$\frac{1}{x-4}=\frac{1}{(x-1)-3}=-\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{x-1}{3}}=-\frac{1}{3}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{x-1}{3}\right)}^n$，$\left|\frac{x-1}{3}\right|<1$，$x\in (-2,4)$。

$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{(x-1)+2}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-\frac{x-1}{2}\right)}^n$，$\left|-\frac{x-1}{2}\right|<1$，$x\in (-1,3)$。

所以其幂级数就是其加和，收敛区间为$(-2,4)\cap (-1,3)=(-1,3)$。

先导后积

例题：求函数$f(x)=\arctan x$在$x=0$处的幂级数展开。

解：$f^{\prime }(x)=(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}$，$|-x^2|<1$。

已经求得求导后的函数的幂级数展开，所以求原函数的幂级数展开只需要积分，利用先导后积公式：$f(x)=f(0)+{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)\text{d}t={\int }_0^x\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{t}^{2n}\text{d}t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{t^{2n+1}}{2n+1}{|}_0^x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$。

求导的级数要求$|x|<1$，代入$x=\pm 1$到最后结果得到两个交错级数，所以收敛域其实为$[-1,1]$（可以不写）。

🌱 大一新生提示

一句话提示：把陌生函数展成幂级数，常用套路是「凑成已知展开式」：$\frac{1}{1-t}=\sum t^n$、$\ln (1+x)$、$\arctan x$ 等。技巧①因式分解成 $\frac{1}{1-t}$ 型；技巧②先对函数求导得到熟悉形式、再积分回去（先导后积）。最后别忘了用 $\left|t\right|<1$ 确定收敛区间。

💻 计算机专业视角

引导句：幂级数展开就是泰勒级数，是机器学习与图形学里函数近似的基石：激活函数、特殊函数（如 $\arctan$、$\ln$）在底层常用截断的幂级数或多项式逼近来快速求值；自动微分中的高阶导数信息也对应着泰勒系数。

级数求和

即对展开式进行逆运算，根据幂级数展开式反推原幂级数。

可以利用展开式求和函数，但是很多展开式的通项都不是公式中的，就需要对通项进行变形。

在求和之前要先计算收敛半径和收敛域。

无论是哪个方法都要求求导和积分后系数$n+a$与幂次$n$相等，所以求导或积分的目的就是为了让他们相同，从而能被看成一个整体。

先导后积

$\sum \frac{x^{f(n)}}{P(n)}$：$n$在分母上，先导后积。使用变限积分：${\int }_{x_0}^x{S}^{\prime }(t)\text{d}t=S(x)-S(x_0)$，即$S(x)=S(x_0)+{\int }_{x_0}^x{S}^{\prime }(t)\text{d}t$。一般选择$x_0$为展开点。

主要公式：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n=\ln (1+x)$（$(-1,1]$）；$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$（$[-1,1)$）。

目的是让$P(n)=f(n)$。

例题：求级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n}$的和函数。

解：首先$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$，$R=1$。

当$x=\pm 1$时，$x^{2}n=1$，所以原式$=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$，为交错级数，由莱布尼茨判别法可知极限为0且单调递减，从而该级数收敛。从而收敛域为$[-1,1]$。

令$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n}$。易得$x=0$时$S(x)=1$。

当$x\ne 0$时，$S(x)=\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}=\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x(-1{)}^n{x}^{2n}\text{d}x=\frac{1}{x}{\int }_0^x[\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}]\text{d}x$。

所以$(-1{)}^n{x}^{2n}$为一个几何级数，所以$q=\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{(-1{)}^n{x}^{2n}}=-x^2$。

从而$=\frac{1}{x}{\int }_0^x\frac{1}{1+x^2}\text{d}x=\frac{\arctan x}{x}$。

先积后导

$\sum P(n)x^{f(n)}$：$n$在分子上，先积后导。$(\int S(x)\text{d}x{)}^{\prime }=S(x)$。

主要公式：$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=\frac{1}{1+x}$（$(-1,1)$）；$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$（$(-1,1)$）。

目的是让$P(n)=f^{(n)}(n)\cdots f^{\prime }(n)$。

例题：求级数$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n$的和函数。

解：记$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=x\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=x(\int \sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}\text{d}x{)}^{\prime }=x(\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n{)}^{\prime }=x{\left(\frac{x}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{x}{(1-x{)}^2}$。收敛域为$[-1,1]$。

例题：求级数$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)(n+3)x^n$的和函数。

解：$(n+1)(n+3)$的形式可以推出$(n+1)(n+2)$是求两次导的结果，而这里是$(n+1)(n+3)$，所以拆开：$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)(n+2)x^n+\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n+2}\right)}^{\prime \prime }+\left(\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n+1}\right)={\left(\frac{x^2}{1-x}\right)}^{\prime \prime }+{\left(\frac{x}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{3-x}{(1-x{)}^3}$，$x\in (-1,1)$。

傅里叶级数