向量代数与空间解析几何

空间解析几何

平面方程

直线方程

位置关系

空间曲线

投影

空间曲面

场论初步

方向导数

梯度

散度与旋度

直接代入公式。

例题：计算向量场$u(x,y,z)=x{y}^{2}i+y{e}^{x}j+x\ln (1+z^2)k$在点$P(1,1,0)$的散度和旋度。

解：所以$u(x,y,z)=(P,Q,R)$，$P=x{y}^2$，$Q=y{e}^x$，$R=x\ln (1+z^2)$。

$\frac{\partial P}{\partial x}=y^2$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=e^x$，$\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{2zx}{1+z^2}$。

代入$P(1,1,0)$，得到散度$\text{div}\vec{u}=1+e$。

旋度$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x{y}^2& y{e}^x& x\ln (1+z^2)\end{array}\right|=\frac{\partial x\ln (1+z^2)}{\partial y}\vec{i}+\frac{\partial x{y}^2}{\partial z}\vec{j}+\frac{\partial y{e}^x}{\partial x}\vec{k}-\frac{\partial x{y}^2}{\partial y}\vec{k}-\frac{\partial y{e}^x}{\partial z}\vec{i}-\frac{\partial x\ln (1+z^2)}{\partial x}\vec{j}=0+0+y{e}^x\vec{k}-2xy\vec{k}-0-\ln (1+z^2)\vec{j}=-\ln (1+z^2)\vec{j}+(y{e}^x-2xy)\vec{k}=(0,0,e-2)$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：散度套公式 $\mathrm{div}\vec{u}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$（三个偏导相加，结果是个数）；旋度按行列式 $\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ {\partial }_x& {\partial }_y& {\partial }_z\\ P& Q& R\end{array}\right|$ 展开（结果是个向量）。最后别忘了把点 $P(1,1,0)$ 的坐标代进去。

💻 计算机专业视角

引导句：散度与旋度是向量场分析的核心算子：在流体仿真、电磁场求解里，散度刻画「源/汇」（某点是否在喷出或吸入），旋度刻画「环流/涡量」。数值计算中常用有限差分离散这两个算子，是计算流体力学（CFD）和图形学流体特效的基础。