多元函数积分学

二重积分

概念

几何背景

二重积分的几何背景就是曲顶柱体的体积。定积分用极限的思想求出了二维平面的曲边梯形的面积，同样二重积分$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma$。

被积函数$f(x,y)$作为曲顶柱体在点$(x,y)$处柱体微元的高，用底面积$\text{d}\sigma >0$乘上高$f(x,y)$就得到一个小柱体体积，再把所有$D$上的柱体相加起来就是整个曲顶柱体的体积。

💻 计算机专业视角

二重积分 ≈ 在区域上「逐像素求和」。 计算机算二重积分基本不靠解析原函数，而是把区域 $D$ 划成网格、在每个小格采样 $f$ 再乘格面积累加——这就是数值积分；维数一高（高维期望、渲染方程）就改用蒙特卡洛：随机撒点求平均再乘面积。图像处理里对一块区域的像素灰度求和、卷积核与图像逐点相乘再累加，本质都是离散化的二重积分。

🌱 大一新生提示

一句话：二重积分就是把「曲顶柱体」切成无数细柱子、体积加起来。 一元定积分求的是曲边梯形面积（高 $\times$ 宽再求和），二重积分把它升一维：底面是平面区域 $D$，高是 $f(x,y)$，体积微元 $f\text{d}\sigma$ 累加就得总体积。做题关键不是背公式，而是先把积分区域 $D$ 画出来长什么样。

性质

• 求区域面积：$\underset{D}{\iint }1\cdot \text{d}\sigma =\underset{D}{\iint }\text{d}\sigma =A$，其中$A$为$D$的面积。
• 可积函数必有界：当$f(x,y)$在有界闭区间$D$上可积时，$f(x,y)$在$D$上必有界。
• 积分线性性质：$k_1,k_2$为常数，则$\underset{D}{\iint }[k_{1}f(x,y)\pm k_{2}g(x,y)]\text{d}\sigma =k_1\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma \pm k_2\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma$。
• 积分可加性：当$f(x,y)$在有界闭区间$D$上可积时，且$D_1\cup D_2=D$，$D_1\cap U_2=\varnothing$，则$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma$。
• 积分保号性：当$f(x,y),g(x,y))$在有界闭区间$D$上可积时，若在$D$上有$f(x,y)⩽g(x,y)$，则$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ⩽\underset{D}{\iint }g(x,y)\text{d}\sigma$，特别$\left|\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma \right|⩽\underset{D}{\iint }|f(x,y)|\text{d}\sigma$。
• 二重积分估值定理：设$M,m$，分别为$f(x,y)$在有界闭区域$D$上的最大值和最小值，$A$为$D$的面积，则有$mA⩽\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ⩽MA$。
• 二重积分中值定理：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，$A$为$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$使得$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma =f(\xi ,\eta )A$。

例题：设$I_1=\underset{D}{\iint }\cos \sqrt{x^2+y^2}\text{d}\sigma$，$I_2=\underset{D}{\iint }\cos (x^2+y^2)\text{d}\sigma$，$I_3=\underset{D}{\iint }\cos (x^2+y^2{)}^2\text{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)|x^2+y^2⩽1\}$，则()。

$A.I_3>I_2>I_1$ $B.I_1>I_2>I_3$ $C.I_2>I_1>I_3$ $D.I_3>I_1>I_2$

解：令$x^2+y^2=t$，$\therefore 0<t⩽1$。所以$1⩾\sqrt{t}⩾t⩾t^2⩾0$。

又$\cos x$单调减，所以$A$。

对称性

普通对称性定义：设$D$关于$y$轴对称，$I=\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma$，将$D$分为对称的两部分$D_1{D}_2$，即$I=\{\begin{array}{ll}2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ,& f(x,y)=f(-x,y)\\ 0,& f(x,y)=-f(-x,y)\end{array}$。关于$x$轴对称也同理。

轮换对称性定义：$xy$对调后区域$D$不变或关于$y=x$对称，$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}x\text{d}y=\underset{D}{\iint }f(y,x)\text{d}y\text{d}x$。类似积分值与积分变量无关。同理对于一元函数积分的不变性：${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x={\int }_a^{b}f(y)\text{d}y$。

例题：设区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2⩽1,x⩾0,y⩾0\}$，$f(x)$在$D$上的正值连续函数，$a,b$为常数，求$I=\underset{D}{\iint }\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\text{d}\sigma$。

解：由于被积函数是抽象的，所以无法直接计算。但是由于$D$是圆，$xy$对调后$D$保持不败你，所以$D$关于$y=x$对称，根据轮换对称性：

$I=\underset{D}{\iint }\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\text{d}\sigma =\underset{D}{\iint }\frac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}}\text{d}\sigma$。

$\therefore 2I=\underset{D}{\iint }\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\text{d}\sigma +\underset{D}{\iint }\frac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}}\text{d}\sigma =\underset{D}{\iint }(a+b)\text{d}\sigma =(a+b)\frac{\pi }{4}$。

解得$I=\frac{a+b}{8}\pi$。

计算

直角坐标系

后积先定限，先内画条线，先交写下限，后交写上限。

二重积分要将其变为累次积分，由一个区域的积分变为分别对$xy$的积分，要将$f(x,y)$拆开，重要的就是求上下限。

$X$ 型区域

$\sigma =\{(x,y)|a⩽x⩽b,\psi (x)⩽y⩽\varphi (x)\}$。

也称为上下型区域。

$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ={\int }_a^b\text{d}x{\int }_{\psi (x)}^{\varphi (x)}f(x,y)\text{d}y$。

二重积分$X$型即求底部为如图的图形的面包状物体体积。求体积的做法就是已知截面面积求体积。其中横截面的一边在底面$\varphi (x)-\psi (x)$，高为函数$f(x,y)$，则横截面面积$S(x)={\int }_{\psi (x)}^{\varphi (x)}f(x,y)\text{d}y$，得到了横截面之后再对$x$轴的所有横截面进行积分：$V={\int }_a^{b}S(x)\text{d}x$就得到体积。

$Y$ 型区域

$\sigma =\{(x,y)|c⩽x⩽d,\psi (y)⩽x⩽\varphi (y)\}$。

也称为左右型区域。

$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ={\int }_c^d\text{d}y{\int }_{\psi (y)}^{\varphi (y)}f(x,y)\text{d}x$。

区域类型选择

若上下是两条曲线，那么就是$X$型，若左右是两条曲线，那么就是$Y$型。

若同一个方向的函数有两种不同的表达式，则从另一个方向将$D$按照函数分段割开求积分。

极坐标系

按积分区域与极点位置关系的不同，将二重积分计算分为三种情况：

根据$\theta$按角度切割区间，然后从极点开始按$\text{d}r$切割，变成一个个类似矩形的图形。图形一边为切割半径的改变量$\text{d}r$，另一条边为圆弧，等于半径乘改变角度$r\text{d}\theta$，所以最后$\text{d}\sigma =r\text{d}r\text{d}\theta$。

基本上都是先积$r$后积$\theta$。

从射线刚开始接触区域$D$的射线记为$\theta =\alpha$，要离开区域$D$的射线记为$\theta =\beta$，中间移动的射线为$\theta =\theta$。$\theta =\alpha$与$\theta =\beta$与$D$相交于两点，两点内靠近极点的$D$的边为内曲线，远离极点的边为外曲线。$\theta =\theta$与内曲线交于$r=r_1(\theta )$，与外曲线交于$r=r_2(\theta )$。

1. 极点$O$在区域$D$外部：$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }\text{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\text{d}r$。
2. 极点$O$在区域$D$边上：$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }\text{d}\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\text{d}r$。
3. 极点$O$在区域$D$内部：$\underset{D}{\iint }f(x,y)\text{d}\sigma ={\int }_0^{2\pi }\text{d}\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\text{d}r$。

💻 计算机专业视角

极坐标换元 ≈ 坐标变换里的雅可比因子。 从直角坐标换到极坐标时多出来的那个 $r$（即 $\text{d}\sigma =r\text{d}r\text{d}\theta$）就是坐标变换的雅可比行列式 $\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right|$。图形学做极坐标展开、概率里把高斯积分归一化、任何换元采样都靠它；忘了乘这个 $r$ 是最常见的 bug。

🌱 大一新生提示

一句话：区域是圆、被积函数含 $x^2+y^2$ 时就换极坐标。 换元后面积微元不再是 $\text{d}x\text{d}y$，而是 $r\text{d}r\text{d}\theta$（多出来一个 $r$ 千万别漏）。定限口诀：固定角度 $\theta$ 从极点射出一条线，看它从哪进区域、从哪出区域，就是 $r$ 的下限和上限。

极坐标系与直角坐标系选择

若给出一个二重积分：

1. 被积函数是否为$f(x^2+y^2)$、$f\left(\frac{y}{x}\right)$、$f\left(\frac{x}{y}\right)$等形式。
2. 积分区域是否为圆或圆的一部分。
3. 如果上面两种都有，则优先使用极坐标系，否则优先考虑直角坐标系。

极直互化

对于极坐标系转换到直角坐标系：$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$。

例题：设区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2⩽R^2\}$，计算$\underset{D}{\iint }\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\text{d}x\text{d}y$。

解：互换积分变量：$I=\underset{D}{\iint }\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\text{d}x\text{d}y=\underset{D}{\iint }\left(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}\right)\text{d}x\text{d}y$。

$\therefore 2I=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)\text{d}x\text{d}y$，$\therefore I=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)\text{d}\sigma$。

根据公式三转换为极坐标系：$I=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right){\int }_0^{2\pi }\text{d}\theta {\int }_0^R{r}^{2}r\text{d}r$。

即$I=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\frac{\pi R^4}{4}$。

例题：计算$I={\int }_0^1\text{d}x{\int }_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{x+y}{x^2+y^2}\text{d}y$。

解：根据上限$\sqrt{1-x^2}$和$1-x$所围成的图形$D$为第一象限的圆减去三角形。

所以转换为极坐标系时，对于$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，对于$r$在$(1-x,\sqrt{1-x^2})$。

下限$x+y=1$，即$r\cos \theta +r\sin \theta =1$，解出$r=\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$，上限是一个圆，所以为1。

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\text{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}^1\cos \theta +\sin \theta \text{d}r={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta +\sin \theta -1\text{d}\theta =2-\frac{\pi }{2}$。

积分次序

积分次序即区域类型选择的问题，目的是为了简化计算，使得积分的函数更简单。

从另一方面，也很可能是积分函数无法按此次序进行积分，所以需要更换积分顺序。

存在许多有原函数但求不出初等函数形式的原函数。如$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{\cos x}{x}$、$\frac{\tan x}{x}$、$\frac{e^x}{x}$、$\sin x^2$、$\cos x^2$、$\tan x^2$、$e^{a{x}^2+bx+c}$、$\frac{1}{\ln x}$等。

例题：计算${\int }_1^2\text{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^x\sin \frac{\pi x}{2y}\text{d}y+{\int }_2^4\text{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^2\sin \frac{\pi x}{2y}\text{d}y$。

解：首先可以看出积分函数都是一样的，只是积分区域不同所以分开了，可见该函数的积分区域较复杂。

积分函数为$\sin \frac{\pi x}{2y}$，若对$y$进行积分，则可以类比求$\int \sin \frac{1}{x}\text{d}x$，这个是积分积不出来的。所以必须更换积分顺序。先积$x$。

首先根据被积函数上下限得到积分区域：$\sqrt{x}$、$x$、2围成的类三角形$\text{d}\sigma$。

$I=\underset{D}{\iint }\sin \frac{\pi x}{2y}\text{d}\sigma ={\int }_1^2\text{d}y{\int }_y^{y^2}\sin \frac{\pi x}{2y}\text{d}x={\int }_1^2\frac{2y}{\pi }\left(-\cos \frac{\pi y}{2}+\cos \frac{\pi }{2}\right)\text{d}y=\frac{4}{{\pi }^3}(2+\pi )$。

二重积分处理一元积分

在面对有中间变量的一元积分时，可以使用二重积分。

例题：设$f(x)={\int }_x^1\sin (\pi u^2)\text{d}u$，求${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x$。（可以使用分部积分法）

解：${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x={\int }_0^1\text{d}x{\int }_x^1\sin (\pi u^2)\text{d}u$。又$\sin (\pi u^2)$无法对$x$积分。

换做对$y$积分，$\text{d}\sigma$为$x=0$、$x=1$、$u=x$围成的三角形。交换积分次序：

${\int }_0^1\text{d}y{\int }_0^u\sin (\pi u^2)\text{d}x={\int }_0^1\sin (\pi u^2)u\text{d}u=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^1\sin (\pi u^2)\text{d}(\pi u^2)=-\frac{1}{2\pi }\cos \pi u^2{|}_0^1=-\frac{1}{2\pi }(-1-1)=\frac{1}{\pi }$。

例题：利用广义二重积分求${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\text{d}x$。

解：根据积分值与积分变量无关的性质：

$I^2=({\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\text{d}x{)}^2={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\text{d}x\cdot {\int }_0^{+\infty }{e}^{-y^2}\text{d}y={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y$

$\text{d}\sigma$是第一象限，可以看作一个广义的圆，半径无限大，转换为极坐标系。

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\text{d}\theta {\int }_0^{+\infty }{e}^{-r^2}r\text{d}r={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}\text{d}\theta =\frac{\pi }{2}$。$\therefore I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$。

二重积分应用

体积

形心公式

对于直角坐标系和参数方程：

$\overline{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\text{d}\sigma }{\underset{D}{\iint }\text{d}\sigma }=\frac{\int x(t)y(t)x^{\prime }(t)\text{d}t}{\int y(t)x^{\prime }(t)\text{d}t}$，$\overline{y}=\frac{\underset{D}{\iint }y\text{d}\sigma }{\underset{D}{\iint }\text{d}\sigma }=\frac{\int y(t{)}^t{x}^{\prime }(t)\text{d}t}{\int y(t)x^{\prime }(t)\text{d}t}$。

三重积分

概念

三重积分的被积函数$f(x,y,z)$定义在三维空间$\Omega$上，是四维空间图形体积，非常抽象。

所以利用质量描述，设一质量非均匀的物体，体积密度为$f(x,y,z)$，则三重积分就是以此为点密度的空间物体的质量。

💻 计算机专业视角

三重积分 ≈ 体数据（体素）上的加权求和。 把空间密度 $f(x,y,z)$ 在体素网格上采样累加，就是医学 CT 重建、体渲染（volume rendering）里沿体积积分的离散版；物理仿真算总质量、总电荷，有限元/有限体积法对每个单元积分，都是三重积分的数值实现。

🌱 大一新生提示

一句话：三重积分就是给空间物体「按密度称重」。 四维图形画不出来，但可以这样想：物体每点密度 $f(x,y,z)$，乘上小体积 $\text{d}v$ 得一小块质量，全部加起来就是总质量。算法仍是「化成累次积分」：先一后二、先二后一，或换柱面/球面坐标。

定义

定义：设三元函数$z=f(x,y,z)$定义在有界闭区域$\Omega$上将区域$\Omega$任意分成$n$个子域$\Delta v_i$（$i=1,2,3,\cdots ,n$）并以$\Delta v_i$表示第$i$个子域的体积。在$\Delta v_i$上任取一点$({\alpha }_i,{\beta }_i,{\gamma }_i)$作和$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i{\gamma }_i\Delta v_i$。如果当各个子域的直径中的最大值$\lambda$趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在区域$\Omega$上的三重积分，记为$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v$，即$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)\Delta y_i$，其中$\text{d}v$叫做体积元素。

其中$\iiint$称为三重积分号，$f(x,y,z)$为被积函数，$f(x,y,z)\text{d}v$称为被积表达式，$\text{d}v$称为体积元，$x$、$y$、$z$为积分变量，$\Omega$为积分区域，$\sum f({\alpha }_i,{\beta }_i,{\gamma }_i)\Delta v_i$为积分和。

性质

假设$\Omega$为空间有界闭区域。

• 空间区域体积：$\underset{\Omega }{\iiint }1\text{d}v=\underset{\Omega }{\iiint }\text{d}v=V$，其中$V$为$\Omega$的体积。
• 可积函数必有界：设$f(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则在$\Omega$上必有界。
• 积分线性：设$k_1,k_2$为常数，则$\underset{\Omega }{\iiint }[k_{1}f(x,y,z)\pm k_{2}g(x,y,z)]\text{d}v=k_1\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v\pm k_2\underset{\Omega }{\iiint }g(x,y,z)\text{d}v$。
• 积分可加性：设$f(x,y,z)$在$\Omega$上可积，且${\Omega }_1\cup {\Omega }_2=\Omega$，${\Omega }_1\cap {\Omega }_2=\varnothing$，则$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v=\underset{{\Omega }_1}{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v+\underset{{\Omega }_2}{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v$。
• 积分保号性：设$f(x,y,z)$，$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，且在$\Omega$上$f(x,y,z)⩽g(x,y,z)$，则有$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v⩽\underset{\Omega }{\iiint }g(x,y,z)\text{d}v$。且利用不等式性质：$|\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v|⩽\underset{\Omega }{\iiint }|f(x,y,z)|\text{d}v$。
• 三重积分估值定理：设$M,m$分别为$f(x,y,z)$在$\Omega$上的最大值和最小值，$V$为$\Omega$的体积，则$mV⩽\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v⩽MV$。
• 三种积分中值定理：设$f(x,y,z)$在$\Omega$上连续，$V$为$\Omega$的体积，则$\Omega$上至少存在一点$(\xi ,\eta ,\zeta )$使得$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v=f(\xi ,\eta ,\zeta )V$。

对称性

分析方法与二重积分完全一样。

普通对称性

假设$\Omega$关于$yOz$面对称，则$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v=\{\begin{array}{ll}2\underset{{\Omega }_1}{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v,& f(x,y,z)=f(-x,y,z)\\ 0,& f(x,y,z)=-f(-x,y,z)\end{array}$，其中${\Omega }_1$为$\Omega$在$yOz$面前面的部分。

轮换对称性

若把$x$与$y$对调后，$\Omega$不变，则$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v=\underset{\Omega }{\iiint }f(y,x,z)\text{d}v$，这就是轮换对称性。其他情况类似。

在使用轮换对称性的时候需要根据题目进行轮换，特别是根据所要求的被积函数$f(x)$，若$f(x)$中存在某些变量，则要将没有出现的变量换去。

计算

基本思想还是三重积分化为一重积分。

基础方法

直角坐标系

即$\text{d}v=\text{d}x\text{d}y\text{d}z$，微元是一个长方体。

先一后二法

先$z$后$xy$，也称为投影穿线法。先做定积分后做二重积分。相当于对底面构造垂直于底面的线，将这个面上所有的线的体积积分起来就得到这个总体积，所以先一后二法要求底面是固定的微元。

适用场合：$\Omega$有下曲面$z=z_1(x,y)$、上曲面$z=z_2(x,y)$，无侧面或侧面为柱面。

如二重积分：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限。

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v=\underset{D_{xy}}{\iint }\text{d}\sigma {\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\text{d}z$。

例题：计算三重积分$I=\underset{\Omega }{\iiint }\frac{\text{d}x\text{d}y\text{d}z}{(1+x+y+z{)}^3}$，其中$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所围成的四面体。

解：根据图形，已知是一个四面体，所以下底面是一个1×1的等腰直角三角形$D_{xy}$，上曲面为一个等边三角形$z=-1-x-y$，有两个侧柱面。

则先将$I$消去$z$，再计算$xy$：$I=\underset{D_{xy}}{\iint }\text{d}\sigma {\int }_0^{1-x-y}\frac{1}{(1+x+y+z{)}^3}\text{d}z$

$=\underset{D_{xy}}{\iint }\text{d}\sigma \left(-\frac{1}{2}\frac{1}{(1+x+y+z{)}^2}{|}_{z=0}^{z=1-x-y}\right)=\underset{D_{xy}}{\iint }\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1+x+y{)}^2}-\frac{1}{4}\right)\text{d}\sigma =\frac{1}{2}{\int }_0^1\text{d}x{\int }_0^{1-x}\left(\frac{1}{(1+x+y{)}^2}-\frac{1}{4}\right)\text{d}y=\frac{1}{2}{\int }_0^1\left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{1+x}-\frac{1}{4}\right)\text{d}x=\left(-\frac{1}{8}{x}^2+\ln (1+x)-\frac{1}{4}x\right){|}_0^1=\frac{1}{2}\left(\ln 2-\frac{5}{8}\right)$。

先二后一法

先$xy$后$z$，也称为定限截面法。先做二重积分后做定积分。相当于对体积进行平行于地面的切割为圆柱体，将所有在这个高上的圆柱体积分起来就得到这个总面积，所以先二后一要求高是固定的微元。

适用场合：$\Omega$是旋转体，上面和下面都是平面，中间为曲面，旋转曲面方程为$\Sigma :z=z(x,y)$。

后积先定限，限内截个面限。

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}v=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\text{d}z\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\text{d}\sigma$。

柱面坐标系

若二重积分部分$\underset{D_{xy}}{\iint }\text{d}\sigma$适用于极坐标系（即与圆相关），使用极坐标系表示，令$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，便有$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\underset{\Omega }{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\text{d}r\text{d}\theta \text{d}z$。这就是柱面坐标系下三重积分的计算。

适用场合：被积函数含有$x^2+y^2$，积分区域为圆或部分圆。

即一个定积分加上一个极坐标系下的二重积分。

例题：计算$\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2)\text{d}v$，其中$\Omega$是$\{\begin{array}{l}{y}^2=2z\\ x=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周形成的曲面与平面$z=8$所围成的区域。

解：已知平面曲线绕$z$轴旋转，首先求这个旋转曲面。

首先令$P_1(x_1,y_1,z_1)$在该曲线上，即得到两个方程：$y_1^2=2z_1$，$x_1=0$。

取在旋转轴$z$轴上一点$P_0(0,0,0)$，对于纬圆上任一点$P(x,y,z)$，其中$|P_0{P}_1|=|P{P}_0|$，即$x_1^2+y_1^2+z_1^2=x^2+y^2+z^2$。

且向量$\overrightarrow{P{P}_1}$垂直于旋转轴$z$轴，所以$(x_1-x,y_1-y,z_1-z)\perp (0,0,1)$，$z_1-z=0$，$z_1=z$。

代入方程所以$x_1^2+y_1^2=x^2+y^2$，再代入$y_1^2=2z$，$x_1=0$，得到$2z=x^2+y^2$。

旋转曲面为$z=\frac{x^2+y^2}{2}$。且于$z=8$所得到一个旋转体。

因为选择体上下都是平面，侧面是曲面，所以使用先二后一法。其中$D:x^2+y^2⩽2z$。

$I={\int }_0^8\text{d}z\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)\text{d}\sigma ={\int }_0^8\text{d}z{\int }_0^{2\pi }\text{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{2z}}{r}^{2}r\text{d}r=\frac{1024}{3}\pi$。

球面坐标系

适用场合

被积函数含有$x^2+y^2+z^2$或$x^2+y^2$，积分区域为球或球的部分，锥或锥的部分。

原理

利用三族面对$\Omega$进行切割：

1. 首先用$r=r_0$从原点开始向外做球体进行切割，求半径为$r_0$，增量为$\text{d}r$。$r_0\in [0,+\infty )$。
2. 然后用$\varphi ={\varphi }_0$从$z$轴为中心，原点为定点，做半顶角为${\varphi }_0$的圆锥面进行切割，增量为$\text{d}\varphi$。${\varphi }_0\in [0,\pi ]$。
3. 最后用$\theta ={\theta }_0$以$z$为轴做半平面，与$xOz$夹角为${\theta }_0$，增量为$\text{d}\theta$。$\theta \in [0,2\pi ]$。

首先在极坐标系中，弧长等于弧度乘半径，所以微元的由$\varphi$确定的一边为$r\text{d}\varphi$，对于$\theta$确定的一边，首先需要根据勾股定理得到弧长$r\sin \varphi$，然后乘$\text{d}\theta$得到微元边长$r\sin \varphi \text{d}\theta$，最后乘上$\text{d}r$，从而得到微元就是三边相乘：$r\text{d}\varphi r\sin \varphi \text{d}\theta \text{d}r$。

对$xyz$，由$\varphi$推出的一个直角三角形的斜边为$r$，半顶角为$\varphi$，所以$z$轴的直角边为$z=r\cos \varphi$，又$x^2+y^2+z^2=r^2$，所以$x^2+y^2=r^2-z^2=r^2{\sin }^2\varphi$，又$xOy$夹角为$\theta$，所以$x=r\sin \varphi \cos \theta$，$y=r\sin \varphi \sin \theta$。

计算方法

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\underset{\Omega }{\iiint }f(r\sin \varphi \cos \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \varphi )r^2\sin \varphi \text{d}\theta \text{d}\varphi \text{d}r$

令$x=r\cos \theta \sin \varphi$、$y=r\sin \theta \sin \varphi$、$z=r\cos \varphi$，判断$xOy$面的与正方向夹角$\varphi$，$xOz$面的与正方向夹角$\theta$。

例题：计算三重积分$\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2)\text{d}v$，其中$\Omega$是半球面$x^2+y^2+z^2=a^2$（$y⩾0$）与$xOz$面所围成的区域。

解：根据图形是一个右半球，所以$\theta$是$x$正轴到负轴一共$\pi$，$\varphi$到正轴到负轴一共$\pi$，$r$从原点到最外面一共$a$。$f(x)=x^2+y^2=r^2{\sin }^2\varphi$。

$\therefore I={\int }_0^{\pi }\text{d}\theta {\int }_0^{\pi }\text{d}\varphi {\int }_0^a(r^2{\sin }^2\varphi )r^2\sin \varphi \text{d}r$

对称性

普通对称性

例题：计算$\underset{\Omega }{\iiint }{e}^{|z|}\text{d}v$，其中$\Omega :x^2+y^2+z^2⩽1$。

解：已知$\Omega$为一个半径为1的球体。且球体球心在原点，利用普通对称性代入：$f(x,y,z)\text{d}v=e^{|z|}\text{d}v=\text{d}m=f(x,y,-z)\text{d}v=e^{|z|}\text{d}v=\text{d}m$，所以对于$f(x,y,z)$，在球体上下积分相同。

$\therefore \underset{\Omega }{\iiint }{e}^{|z|}\text{d}v=2\underset{{\Omega }_1}{\iiint }{e}^z\text{d}v$，其中${\Omega }_1$为上半球体，即${\Omega }_1:x^2+y^2+z^2⩽1,z⩾0$。

由于$f(x)=e^z$，只包含$z$的变量，所以使用先二后一法更简单。

由于截面是一个圆，所以令$z=z$，代入方程得到面积：$D:x^2+y^2⩽1-z^2$。所以这个圆的半径的平方就是$r^2=1-z^2$，面积为$\pi r^2=\pi (1-z^2)$。

$=2{\int }_0^1\text{d}z\underset{D}{\iint }{e}^z\text{d}\sigma =2{\int }_0^1{e}^z\cdot \pi (1-z^2)\text{d}z=2\pi$。

轮换对称性

例题：设$\Omega =\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2⩽1\}$，求$\underset{\Omega }{\iiint }{z}^2\text{d}x\text{d}y\text{d}z$。

解：利用轮换对称性可知$\underset{\Omega }{\iiint }{x}^2\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\underset{\Omega }{\iiint }{y}^2\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\underset{\Omega }{\iiint }{z}^2\text{d}x\text{d}y\text{d}z$。

$\therefore I=\frac{1}{3}\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2+z^2)\text{d}x\text{d}y\text{d}z$。

形心公式逆用

由$\overline{x}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }x\text{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\text{d}v}$推出$\underset{\Omega }{\iiint }x\text{d}v=\overline{x}\cdot V$，其中$V$是$\Omega$的体积。

第一型曲线积分

是由定积分推广而来。即对弧长曲线积分。

概念

用于计算密度不均匀的不规则形状细线质量。

💻 计算机专业视角

第一型积分 ≈ 沿路径/曲面「采样求和」，与方向无关。 弧长积分 ${\int }_{L}f\text{d}s$ 在程序里就是把曲线离散成折线段、每段长 $\Delta s$ 乘采样值累加；曲面积分则把网格三角面片的面积乘采样值累加——和图形学里算曲面质量、纹理面积是同一回事。因为只关心「长度/面积」不关心走向，所以反向走结果不变。

🌱 大一新生提示

一句话：第一型积分算的是「不均匀的线/面有多重」，没有方向。 $\text{d}s$ 是弧长（或面积）微元、恒为正，所以积分值与路线方向无关，这点和后面有方向的第二型正好相反。计算套路是「一投二代三计算」：把 $\text{d}s$ 换成 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}\text{d}x$ 之类，化成普通定积分。

几何性质

$L$是在$xOy$上的曲线段，$f(x,y)$在$L$上有界，将$L$分割为多个线段$\Delta S_1,\Delta S_2,\cdots ,\Delta S_n$，假如取该线段某点$\forall ({\xi }_i,{\eta }_i)\in \Delta S_i$，则该线段的质量可以近似为$\Delta m_i\approx \rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i$，所以整体线的质量$m\approx \sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i$。$\lambda =\max \{\Delta S_1,\cdots ,\Delta S_n\}$，若极限$m=\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i$存在，称该极限为$f(x,y)$在$L$上对弧长的曲线积分${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s$。

定义

第一类曲线积分为${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s$。

性质

• ${\int }_{L}1\text{d}s=l$。
• ${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s={\int }_{L_1}f(x,y)\text{d}s+{\int }_{L_2}f(x,y)\text{d}s$。
• ${\int }_L(k_{1}f(x,y))\text{d}s\pm {\int }_L(k_{2}f(x,y))\text{d}s=k_1{\int }_{L}f(x,y)\text{d}s\pm k_2{\int }_{L}f(x,y)\text{d}s$。

对称性

• $L$关于$y$轴对称，右边部分为$L_1$，若$f(-x,y)=-f(x,y)$，则${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s=0$，若$f(-x,y)=f(x,y)$，则${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s=2{\int }_{L_1}f(x,y)\text{d}s$。
• $L$关于$x$轴对称，上边部分为$L_1$，若$f(x,-y)=-f(x,y)$，则${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s=0$，若$f(x,-y)=f(x,y)$，则${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s=2{\int }_{L_1}f(x,y)\text{d}s$。
• $L$关于$y=x$对称，则${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s={\int }_{L}f(x,y)\text{d}s$。

计算

基础方法

即化为定积分。一投（投影）二代（代入关系方程）三计算（$\text{d}s$转换为$\text{d}x$等）。

• $L:y=g(x)$（$a⩽x⩽b$），${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s={\int }_a^{b}f[x,g(x)]\sqrt{1+g^{\prime 2}(x)}\text{d}x$。
• $L:\{\begin{array}{c}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$（$\alpha ⩽t⩽\beta$），${\int }_{L}f(x,y)\text{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t),\psi (t)]\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\text{d}t$。

平面

例题：计算$\underset{\Gamma }{\oint }|y|\text{d}s$，其中$\Gamma$为球面$x^2+y^2+z^2=2$与平面$x=y$的交线。

解：根据普通对称性，对于$|y|$而言，其他象限的函数值都与第一象限区域的函数相等。令第一象限区域为${\Gamma }_1$：

$\therefore \underset{\Gamma }{\oint }|y|\text{d}s=4\underset{{\Gamma }_1}{\oint }y\text{d}s$

根据交线方程进行联立，得到$x=\cos t$，$y=\cos t$，$z=\sqrt{2}\sin t$。

对于${\Gamma }_1$，其角度为$t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$y=\cos t$。

又$\text{d}s=\sqrt{x_t^{\prime 2}+y_t^{\prime 2}+z_t^{\prime 2}}$，所以$\text{d}t=\sqrt{2}\text{d}t$

$=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos t\sqrt{2}\text{d}t=4\sqrt{2}$。

空间

技术方法

边界方程代入被积函数

对称性

形心公式逆用

第一型曲面积分

$\text{d}s$为面微分。即对面积曲面积分。

概念

几何性质

若一块厚度不计的物体$\Sigma$在空间中，对$\Sigma$取面积微元$\forall \text{d}s\in \Sigma$，此时面积微元的面密度认定为均匀，其质量$\text{d}m=\rho (x,y,z)\text{d}s$。所以总质量$m={\iint }_{\Sigma }\text{d}m={\iint }_{\Sigma }\rho (x,y,z)\text{d}s$。

定义

${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)\text{d}s$为$f(x,y,z)$在曲面$\Sigma$上的面积的曲面积分。

性质

• ${\iint }_{\Sigma }1\text{d}s=\sigma$。
• $\Sigma$关于$xOy$对称，上部为${\Sigma }_1$，如果$f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$，则${\iint }_{\Sigma }=0$，如果$f(x,y,-z)=f(x,y,z)$，则${\iint }_{\Sigma }=2{\iint }_{{\Sigma }_1}$。

计算

二重积分法

还是一投二代三计算。

1. 对$\Sigma$作图。
2. 查看图形的奇偶性和对称性，如果对称则消去对应$x$、$y$、$z$的奇数次项。如果图形关于$xOy$对称，则出现$z$的奇数次项就去掉；同理关于$yOz$存在$x$的奇数次项就去掉，$xOz$存在$y$的奇数次项就去掉。
3. 查看是否可以将题目中的常数项式子对$I$化简。
4. 投影，如将$\Sigma$投影到$xOy$平面，$z=\psi (x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$。
5. 求$\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$，$\text{d}s=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}\text{d}\sigma$。
6. 代入$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\text{d}s=\underset{D_{xy}}{\iint }f[x,y,\psi (x,y)]\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}\text{d}\sigma$。

例题：$I=\iint (x{y}^2+z)\text{d}s$。$\Sigma :z=x^2+y^2,z⩽1$。

解：已知$\Sigma$是一个开口向$z$轴正方向的抛物面。不关于$z$轴对称，关于$x$轴和$y$轴对称。$I$中存在$x$的奇数次项$x{y}^2$则去掉，由于不存在$y$的奇数次项则跳过。

$\therefore I={\iint }_{\Sigma }z\text{d}s$。所以$\Sigma$对$xOy$投影最好，为一个单位圆。

所以投影为单位圆$D_{xy}:x^2+y^2⩽1$。

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial z}{\partial y}=2y$，$\text{d}s=\sqrt{1+4x^2+4y^2}\text{d}\sigma$。

$I={\iint }_{D_{xy}}(x^2+y^2)\sqrt{1+4(x^2+y^2)}\text{d}\sigma ={\int }_0^2\pi \text{d}\theta {\int }_0^1{r}^3\sqrt{1+4r^2}\text{d}r=\pi {\int }_0^1{r}^2\sqrt{1+4r^2}\text{d}(r^2)$。

令$r^2=t$，$I=\pi {\int }_0^{1}t\sqrt{1+4t}\text{d}t$。令$\sqrt{1+4t}=u$，$=\pi {\int }_1^{\sqrt{5}}\frac{u^2-1}{4}u\frac{u}{2}\text{d}u=\frac{\pi }{8}{\int }_1^{\sqrt{5}}(u^4-u^2)\text{d}u=\frac{\pi }{8}(\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}){|}_1^{\sqrt{5}}=\frac{10}{3}\sqrt{5}+\frac{2}{15}$。

例题：设曲面$\Sigma :|x|+|y|+|z|=1$，求$\iint (x+|y|)\text{d}s$。

解：曲面$\Sigma$是一个正八面体。又普通对称性得$\underset{\Sigma }{\iint }x\text{d}s=0$。

令第一卦限为${\Sigma }_1$，所以根据普通对称性$\underset{\Sigma }{\iint }|y|\text{d}s=8\underset{{\Sigma }_1}{\iint }y\text{d}s$

因为$x+y+z=1$和$\text{d}s=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\text{d}x\text{d}y$交换$xy$保持不变。

根据轮换对称性$\underset{{\Sigma }_1}{\iint }y\text{d}s=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }x\text{d}s$。

且对于$x+y+z=1$和用$xz$替换$y$（把微元曲面投到不同的坐标轴平面）：$\text{d}s=\sqrt{1+y_x^{\prime 2}+y_z^{\prime 2}}\text{d}x\text{d}z$交换$xz$保持不变。

根据轮换对称性$\underset{{\Sigma }_1}{\iint }y\text{d}s=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }x\text{d}s=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }z\text{d}s$。

$\therefore 8\underset{{\Sigma }_1}{\iint }y\text{d}s=\frac{8}{3}\underset{{\Sigma }_1}{\iint }(x+y+z)\text{d}s=\frac{8}{3}\underset{{\Sigma }_1}{\iint }\text{d}s=\frac{8}{3}{S}_{{\Sigma }_1}=\frac{8}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$。

技术方法

边界方程代入被积函数

对称性

形心公式逆用

多元积分应用

包括二重积分、三重积分、一型曲线积分、一型曲面积分四个部分。

几何量

平面区域

空间区域

空间曲线

空间曲面

是考试的重点。

重心与形心

当密度$\rho$为一个固定常数时重心就是形心。

平面薄片

空间物体

是考试的重点。

例题：设空间物体$\Omega =\{(x,y,z)|x^2+y^2⩽z⩽1\}$，求$\Omega$的形心的竖坐标$\overline{z}$。

空间曲线

空间曲面

转动惯量

可能会考到。

平面薄片

空间物体

空间曲线

空间曲面

引力

考的可能性很小。

平面薄片

空间物体

空间曲线

空间曲面

第二型曲线积分

第二型与第一型的差别就是第二型具有物理意义是有向的，而第一型具有几何意义是无向的。即对坐标曲线积分。

概念

场的概念

定义：就是空间区域$\Omega$上的一种对应法则。

数量场就是对应数量没有方向。向量场就是有数量也有方向。

💻 计算机专业视角

向量场做功 ≈ 物理引擎里沿轨迹累加力的贡献。 第二型曲线积分 ${\int }_L\vec{F}\cdot \text{d}\vec{s}$ 就是力沿路径做的功；游戏物理、机器人路径能量估计里，把每一步位移和受力点乘再累加，正是它的离散形式。与第一型的关键差别：它带方向（点乘），反向走要变号。

🌱 大一新生提示

一句话：第二型曲线积分是「变力沿曲线做了多少功」，有方向。 力 $\vec{F}=\{P,Q\}$ 点乘位移微元 $\{\text{d}x,\text{d}y\}$ 得到 $P\text{d}x+Q\text{d}y$。因为是点乘、带方向，所以路径反过来走积分要加负号——这是它和第一型最容易混的地方。

几何性质

对于双理想状态，对一个物体沿直线且均匀力道，则其功为$\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}$（$\vec{F}$为力向量，$\overrightarrow{AB}$为物体移动向量）。

而对于双不理想状态，对一个物体沿曲线且变动力道做功，则无法得出结论。

令曲线为$L$，对$L$进行切分为微元$\forall \overrightarrow{\text{d}s}\in L$，则$\overrightarrow{\text{d}s}=\{\text{d}x,\text{d}y\}$。设变力$\vec{F}(x,y)=\{P(x,y),Q(x,y)\}$，则功的微元为$\text{d}\omega =\vec{F}\cdot \overrightarrow{\text{d}s}=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$，所以对整体功进行积分$\omega ={\int }_L\text{d}\omega ={\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$。

令曲线为$L$，对$L$进行切分为微元$\forall \overrightarrow{\text{d}s}\in L$，则$\overrightarrow{\text{d}s}=\{\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z\}$。设变力$\vec{F}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$，则功的微元为$\text{d}\omega =\vec{F}\cdot \overrightarrow{\text{d}s}=P(x,y,z)\text{d}x+Q(x,y,z)\text{d}y+R(x,y,z)\text{d}z$，所以对整体功进行积分$\omega ={\int }_L\text{d}\omega ={\int }_{L}P(x,y,z)\text{d}x+Q(x,y,z)\text{d}y+R(x,y,z)\text{d}z$。

定义

对于二维，对坐标的曲线积分为${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$，其中${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x$为$P(x,y)$在有向曲线段$L$上对坐标$x$求积分，${\int }_{L}Q(x,y)\text{d}y$为$Q(x,y)$在有向曲线段$L$上对坐标$y$求积分。

对于三维，对坐标的曲线积分为${\int }_{L}P(x,y,z)\text{d}x+Q(x,y,z)\text{d}y+R(x,y,z)\text{d}z$，同理如二维的定义。

性质

• ${\int }_{L^{-}}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=-{\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$。
• ${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y={\int }_L(P(x,y)\cos \alpha +Q(x,y)\cos \beta )\text{d}s$。（利用方向余弦将第二类曲线积分化成第一类曲线积分）

计算

对于不封闭曲线使用定积分法，对于封闭曲线或封闭曲线部分使用二重积分法。

定积分法

由于第二类曲线积分积分值可正可负，所以只需要关心其起点$x=a$，其终点$x=b$。

• $L:y=g(x)$（$x$起于$x=a$终于$x=b$），${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y={\int }_a^{b}P[x,g(x)]\text{d}x+Q[x,g(x)]g^{\prime }(x)\text{d}x$。
• $L:\{\begin{array}{c}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$（$t$起于$\alpha$终于$\beta$），${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y={\int }_{\alpha }^{\beta }P[\varphi (t),\psi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\text{d}t+Q[\varphi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\text{d}t$。

二重积分法

是考试的重点，基本上都会考到，非常重要。

背景

复平面上的一个区域$G$，如果在其中任做一条简单闭曲线，而闭曲线的内部总属于$G$，就称$G$为单连通区域。一个区域如果不是单连通区域，就称为多连通区域。即形象地说一块完整的凸图形即单连通，中间存在洞的或凹图形为多连通。

对于单连通区域，边界的正方向为逆时针方向，对于多连通区域，外边界的正方向是逆时针，内边界的正方向是顺时针。

在定积分中，使用牛顿-莱布尼茨公式，将${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)$，即将代表$[a,b]$范围积分域的积分值变为代表两点边界差值的函数值。在二重积分中，积分区域为一个连通域，其面积的积分就是二重积分，其周长的积分就是曲线积分，那么是否有这么一种方法，将域的关系转换为边界的关系，即是否存在一种方法将二重积分和曲线积分联系起来。

所以这个方法就是将曲线积分转换为二重积分，这个工具就是格林公式。

格林公式

条件：

• $D$为连通区域，$L$为$D$的正向边界。（如果$D$不是个完整的区域则添加线段，如果$L$为反向边界则添加负号）
• $P(x,y)$、$Q(x,y)$在$D$上连续可偏导。

$\underset{L}{\oint }P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}\sigma$。

💻 计算机专业视角

格林公式 ≈ 把「边界环路」换算成「区域内部」（二维散度/旋度定理）。 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ 就是二维旋度，格林公式说绕边界一圈的环路积分等于区域内旋度的累加。图像里用边界算面积（鞋带公式就是它的特例）、判断一个场是否保守，都用到这种「边界 ↔ 区域」互换的思想。

🌱 大一新生提示

一句话：格林公式让你在「绕边界走一圈」和「在区域里积分」之间二选一。 哪个好算选哪个：边界复杂就转成区域二重积分，区域复杂就转成边界线积分。用之前先检查条件：闭曲线、取正向（逆时针）、$P,Q$ 在区域内处处可偏导（有奇点要先把它挖掉）。

路径无关积分

对于第二类曲线积分${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$，其积分值可能与路径$L$相关，也可能与路径$L$无关。

若$D$为单连通区域，$P(x,y)$、$Q(x,y)$在$D$上连续可偏导，以下命题等价：

1. ${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$与路径无关。
2. $\forall C\in D$（$C$为闭区域），${\oint }_{C}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0$。
3. 柯西黎曼条件：$\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$。（最合适）
4. $\exists u(x,y)$，使得$\text{d}u=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$。即$\frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y)$，$\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)$。

则根据这些条件简化计算，若满足柯西黎曼条件：

1. 求曲线积分：${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y={\int }_{x_0}^{x_1}P(x,y_0)\text{d}x+{\int }_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y)\text{d}y$（先水平后垂直）。
2. 能找到$u$，求曲线积分：有$\text{d}u=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$，则${\int }_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}\text{d}u=u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)$。
3. 求全微分对应$u$表达式：则$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\text{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x_1,y)\text{d}y$（先水平后垂直）。

例题：已知$\psi (x)$可导，$\psi (0)=2$，${\int }_{L}x{y}^2\text{d}x+\psi (x)y\text{d}y$与路径无关，求$\psi (x)$，并计算$I={\int }_{(1,2)}^{(2,3)}x{y}^2\text{d}x+\psi (x)y\text{d}y$。

解：已知$P=x{y}^2$，$y=\psi (x)y$。由于曲线积分与路径无关，所以$\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$，所以${\psi }^{\prime }(x)y\equiv 2xy$，${\psi }^{\prime }(x)=2x$，$\psi (x)=x^2+C$，又$\psi (0)=2$，$C=2$，$\psi (x)=x^2+2$。

所以$I={\int }_{(1,2)}^{(2,3)}x{y}^2\text{d}x+(x^2+2)y\text{d}y$。

方法一：$I={\int }_1^{2}x\cdot 2^2\text{d}x+{\int }_2^3(2^2+2)y\text{d}y=2x^2{|}_1^2+3y^2{|}_2^3=6+15=21$。

方法二：$I={\int }_{(1,2)}^{(2,3)}(x{y}^2\text{d}x+x^{2}y\text{d}y)+2y\text{d}y={\int }_{(1,2)}^{(2,3)}\text{d}(\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+y^2)=(\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+y^2){|}_{(1,2)}^{(2,3)}=27-6=21$。

第二型曲面积分

与第二型曲线积分一样，是有方向的。即对坐标曲面积分。

概念

向量场的通量

令一个不可压缩的向量场$\vec{v}=\{P,Q,R\}$，向量场中有一个面$\Sigma$，有不规则方向的流体流入或流出这个面，现在要求单位时间内流入指定侧的流量。

取一块有侧的面$\forall \overrightarrow{\text{d}s}\in \Sigma$，从$x$轴正方向部分将$\overrightarrow{\text{d}s}$向$yOz$面的投影记为$\text{d}y\text{d}z$。

当$\cos \alpha ⩾0$即方向余弦非负的情况下，$\text{d}y\text{d}z=\text{d}{s}_{yOz}$即就等于投影面积；当$\cos \alpha <0$即方向余弦为负的情况下，$\text{d}y\text{d}z=-\text{d}{s}_{yOz}$即就等于负投影面积。实际上$\text{d}y\text{d}z=\text{d}s\cdot \cos \alpha$。同理其他两个方向也是如此。

所以对$\overrightarrow{\text{d}s}$进行三轴投影，得到$\overrightarrow{\text{d}s}=\{\text{d}y\text{d}z,\text{d}z\text{d}x,\text{d}x\text{d}y\}$

所以$\overrightarrow{\text{d}s}$单位时间内流入指定侧的流量$\text{d}\varphi =\vec{v}\cdot \overrightarrow{\text{d}s}=P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z+Q(x,y,z)\text{d}z\text{d}x+R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$。

从而总流量为${\iint }_{\Sigma }\text{d}\varphi ={\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z+Q(x,y,z)\text{d}z\text{d}x+R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$。

💻 计算机专业视角

通量 ≈ 单位时间穿过曲面的「流量」，是流体与电磁仿真的核心量。 ${\iint }_{\Sigma }\vec{v}\cdot \text{d}\vec{S}$ 算的就是向量场穿过曲面的净流量；有限体积法把守恒律写成「单元边界通量之和 = 内部源」。它带方向：换曲面的「侧」结果就变号。

🌱 大一新生提示

一句话：第二型曲面积分算「有多少东西穿过这张面」，分正反两侧。 想象水流穿过一张网：顺着法向流出记正、逆着流入记负。因为带方向，它的对称性结论和第一型相反——偶函数反而抵消为 0，奇函数才翻倍。

定义

${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z+Q(x,y,z)\text{d}z\text{d}x+R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$为在$\Sigma$上的曲面积分。其中${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z$为$P(x,y,z)$在有侧曲面$\Sigma$上对坐标$y$、$z$的曲面积分。

性质

• ${\iint }_{{\Sigma }^{-}}=-{\iint }_{\Sigma }$。
• ${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z+Q(x,y,z)\text{d}z\text{d}x+R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y={\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)\cos \alpha +Q(x,y,z)\cos \beta +R(x,y,z)\cos \gamma$。（曲面积分转为曲线积分）
• 若积分曲面对称：被积函数关于相应变量为奇函数，积分为半区间的2倍；若为偶函数，则积分等于0。（与一般奇偶性正好相反）

对于奇偶性的解释：因为是第二型的曲面积分，会分前后左右上下，分别代表正负，所以被积函数为偶函数时如果是相反方向，就正好被减去了（两个积的结果相同，方向相反，可以考虑磁通量一边进，一边出），奇函数两边想减因为方向不同，所以--为正相加，即为两倍。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

计算

二重积分法

曲面积分的二重积分法较复杂。将积分化为不同面的投影。为什么会带一个正负号？因为前面的$\text{d}x\text{d}y\text{d}z$表示投影，其值可正可负，而后面的$\text{d}x\text{d}y\text{d}z$表示面积，必然为正。

• $\iint P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z$：用$yz$表示$x$：$\Sigma :x=\varphi (y,z)$，$(y,z)\in D_{yz}$，${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z=\pm {\iint }_{D_{yz}}P[\varphi (y,z),y,z]\text{d}y\text{d}z$。前正后负。
• $\iint Q(x,y,z)\text{d}z\text{d}x$：用$xz$表示$y$：$\Sigma :y=\varphi (z,x)$，$(z,x)\in D_{zx}$，${\iint }_{\Sigma }Q(x,y,z)\text{d}z\text{d}x=\pm {\iint }_{D_{zx}}Q[x,\varphi (z,x),z]\text{d}z\text{d}x$。右正左负。
• $\iint R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$：用$xy$表示$z$：$\Sigma :z=\varphi (x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\pm {\iint }_{D_{xy}}R[x,y,\varphi (x,y)]\text{d}x\text{d}y$。上正下负。

三重积分法

是考试的重点，基本上都会考到。非常重要。

背景

牛顿莱布尼兹公式将定积分转换为函数值差，格林公式将曲线积分转换为二重积分，高斯公式就是将曲面积分转换为三重积分。

高斯公式

条件：

• $\Omega$为几何体，$\Sigma$为$\Omega$的外表面。（如果不封闭则补全，如果是内表面就添加负号）
• $P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$在$\Omega$上连续可偏导。

$\iint P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y=\underset{\Omega }{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{d}v$。

💻 计算机专业视角

高斯公式 = 散度定理：把「闭合曲面通量」换成「体内散度积分」。 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 是散度，度量每点的「源/汇」强度。它是流体连续性方程、麦克斯韦方程组、有限体积法离散守恒律的数学基石；而斯托克斯公式则把曲面旋度积分换成边界环路积分，是散度定理的「旋度版」。

🌱 大一新生提示

一句话：高斯公式让闭合曲面的积分塌缩成它包住那块体积的积分。 类比记忆：格林公式是「二维边界 ↔ 平面区域」，高斯公式是「三维闭曲面 ↔ 立体」。用之前确认曲面封闭、取外侧；不封闭就自己补一块面凑成封闭，最后再把补的那块减掉。

例题：$I={\iint }_{\Sigma }yz\text{d}z\text{d}x+2\text{d}x\text{d}y$，其中$\Sigma$为$x^2+y^2+z^2=4$的$xOy$面的上半部分。

解：由$I$可得$P=0$，$Q=yz$，$R=2$，$\frac{\partial P}{\partial x}=0$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=z$，$\frac{\partial R}{\partial z}=0$。

由于$\Sigma$只有球面的上半部分，所以需要补充底面${\Sigma }_0:y=0$（$x^2+y^2⩽4$下侧），此时才是一个半球体的完整封闭表面积，${\Sigma }_0$的法向量为$z$轴的反方向。所以$I=\iint -{\iint }_{{\Sigma }_0}$。

又根据高斯公式$\iint ={\iiint }_{\Omega }z\text{d}v={\int }_0^{2\pi }\text{d}\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\text{d}\psi {\int }_0^{2}r\cos \psi \cdot r^2\sin \psi \text{d}r=2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \psi \text{d}(\sin \psi ){\int }_0^2{r}^3\text{d}r=2\pi \times \frac{1}{2}{\sin }^2\psi {|}_0^{\frac{\pi }{2}}\times \frac{r^4}{4}{|}_0^2=4\pi$。

而底面${\iint }_{{\Sigma }_0}yz\text{d}z\text{d}x+2\text{d}x\text{d}y={\iint }_{{\Sigma }_0}2\text{d}x\text{d}y=-2{\iint }_{D_{xy}}\text{d}x\text{d}y=-8\pi$。

$I=4\pi +8\pi =12\pi$。

空间第二型曲线积分计算

是第二型曲线积分的应用。使用的是斯托克斯公式。