微分方程

本节内容较少。

若一曲线过点$(1,2)$，且该曲线上任一点$M(x,y)$处的切线的斜率为$2x$，求该曲线的方程。

令所求曲线为$\phi (x)$，$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x$，且$x=1$时，$y=2$。

两边积分：$\int \text{d}y=y=\int 2x\text{d}x$。所以$y=x^2+C$。

代入$(1,2)$，$C=1$，所以$y=x^2+1$。

微分方程基本概念

微分方程构成

定义：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，即含导数的方程就是微分方程。导数可能是一阶导数也可能是二阶以及以上阶数的导数。

💻 计算机专业视角

微分方程 ≈ 描述「状态变化率」的方程，正是物理引擎、动画与仿真的核心。 代码里你几乎不会去解析地解方程，而是用数值解器（ODE solver）：把 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x,y)$ 离散成 y[n+1] = y[n] + f(x,y)*dt，这就是最朴素的欧拉法（前向积分）。游戏每帧更新速度、位置，深度学习里的 Neural ODE、扩散模型的连续时间采样，本质都是在数值求解微分方程。

🌱 大一新生提示

一句话：微分方程不是求一个数，而是求一个「函数」。 普通方程 $x^2=4$ 解出来是数 $x=\pm 2$；微分方程里未知的是整条曲线 $y(x)$，方程给的是这条曲线在每点的「变化规律」（含导数）。解方程＝从变化规律反推出原函数，所以基本手段就是积分。

常微分方程定义：未知函数是一元函数的微分方程。如$y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }+6y=0$，$y\text{d}x-(x+\sqrt{x^2+y^2})\text{d}y=0$。

定义：微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数就是该微分方程的阶。

$n$阶微分方程的形式是$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=0$。其中最高阶导数是必须出现的。若能从中解出最高阶导数，则可得微分方程$y^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n-1)})$。

微分方程的解

微分方程的解是函数。

定义：若微分方程中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则就是微分方程的通解。

如若$y^{\prime \prime }=3$，则$y^{\prime }=3x+C_1$，$y=\frac{3}{2}{x}^2+C_{1}x+C_2$，此时含有两个任意常数$C_1{C}_2$，则微分方程的阶数也为2。

💻 计算机专业视角

通解里的任意常数 ≈ 还没确定的「初始状态」，特解就是给定初值后跑出来的那一条轨迹。 $n$ 阶方程有 $n$ 个待定常数，对应数值解器要 $n$ 个初始条件（位置、速度……）才能 solve。初值问题 $\{y^{\prime }=f(x,y),y(x_0)=y_0\}$ 就是 solve_ivp(f, [x0, x_end], y0) 的标准输入：给一个起点，积分器顺着斜率场走出唯一一条积分曲线。

🌱 大一新生提示

一句话：通解是「一族曲线」，特解是其中「具体一条」。 任意常数没定下来时，$y=x^2+C$ 是一整摞上下平移的抛物线；一旦告诉你曲线过 $(1,2)$（初值条件），就能定出 $C$，挑出唯一那条。初值条件的个数必须等于方程的阶数，才能把所有常数都钉死。

定义：确定通解中任意常数后，就得到微分方程的特解。

定义：当给出$x=x_0$时$y_0$与$y_0^{\prime }$的值，那么这些条件就是初值条件，如上面的$y^{\prime \prime }=3$。

求微分方程$y^{\prime }=f(x,y)$满足初值条件$y{|}_{x=x_0}=y_0$的特解这样的问题，就是一阶微分方程的初值问题，记为$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ y{|}_{x=x_0}=y_0\end{array}$。

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，初值问题的集几何意义就是求微分方程的通过某点的积分曲线。

例题：判断函数$x=C_1\cos kt+C_2\sin kt$是否是微分方程$\frac{{\text{d}}^{2}x}{\text{d}{t}^2}+k^{2}x=0$的解，若是则令其为$k\ne 0$时方程的通解，求满足初值条件$x{|}_{t=0}=A$，$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}{|}_{t=0}=0$时的特解。

解：判断是否为方程的解，就要将这个解代入微分方程中。微分方程中除了$x$，还出现了$x^{\prime \prime }$，所以需要先将$x$对$t$求两次导：

$x^{\prime }=-k{C}_1\sin kt+k{C}_2\cos kt$，$x^{\prime \prime }=-k^2{C}_1\sin kt-k^2{C}_2\sin kt$。代入方程：

$-k^2(C_1\sin kt+C_2\sin kt)+k^2(C_1\cos kt+C_2\sin kt)\equiv 0$，所以是解，然后求特解：

代入$x{|}_{t=0}=A$，$\therefore C_1=A$，代入$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}{|}_{t=0}=0$，$\therefore C_2=0$。

所以代入$x=C_1\cos kt+C_2\sin kt$得到特解：$x=A\cos kt$。

可分离变量的微分方程

对于第一节的$\text{d}y=2x\text{d}x$可以直接求解，如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x$直接移项就可以得到通解$x^2+C$。

但是并不是所有都是如此，如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x{y}^2$求积分得$y=\int 2x{y}^2\text{d}x$，这本身不能直接解，但是可以将$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x{y}^2$先两边同乘$\frac{\text{d}x}{y^2}$得到$\frac{\text{d}y}{y^2}=2x\text{d}x$，将$xy$分离在两端，然后两边同时积分得到$-\frac{1}{y}=x^2+C$，所以$y=-\frac{1}{x^2+C}$。

定义：形如$y^{\prime }=f(x)g(y)$的方程就是变量可分离型方程。

💻 计算机专业视角

变量可分离 ≈ 能把 $x$ 和 $y$ 解耦到等式两边，于是两边各自独立积分。 这是少数能拿到解析解（闭式解）的幸运情形：sympy.dsolve 优先尝试的就是这一类。绝大多数真实方程并不可分离（甚至无闭式解），这时才退化到数值积分。可分离 vs 不可分离，正对应「解析解 vs 数值解」的分界线。

🌱 大一新生提示

一句话：把所有 $y$ 挪到左边、所有 $x$ 挪到右边，再两边同时积分。 例如 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x{y}^2$，先变成 $\frac{\text{d}y}{y^2}=2x\text{d}x$（$y$ 归 $y$、$x$ 归 $x$），左右各积一次分就解出来了。关键动作只有一个：分家。

可以变型为$\frac{\text{d}y}{g(y)}=f(x)\text{d}x$，即将含$y$的放在一边，含$x$的放在另一边。然后对两边求积分就得到$\int \frac{\text{d}y}{g(y)}=\int f(x)\text{d}x$，解得隐式解或隐式通解$G(y)=F(x)+C$。最后可以将隐式解化为显式解。

例题：求微分方程$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy$。

解：$\int \frac{\text{d}y}{y}=\int 2x\text{d}x$，$\ln |y|=x^2+C$，$|y|=e^{x^2+C}$。

$\therefore y=\pm e^{x^2}{e}^C=\pm C_1{e}^{x^2}=C_2{e}^{x^2}$。

注意：在微分方程部分可以直接$\ln y=x^2+C$而不用管正负号，其$C$的正负号由取指后左边式子决定，如果左边为正数如$\sqrt{u}$的形式则$C$也为正数，而这个式子左边为$y$，所以为任意常数。

可化为可分离变量型

多项式换元

形如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(ax+by+c)$的方程，其中$a,b,c$全不为0。

令$u=ax+by+c$，则$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=a+b\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，代入原方程$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=a+bf(u)$。

自然齐次方程

若一阶微分方程可化为$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$，则这方程就是一个齐次方程。

💻 计算机专业视角

齐次方程 ≈ 方程只依赖比值 $y/x$（具有「尺度不变性」），换元 $u=y/x$ 就把它降成可分离型。 这种「找一个合适的变量代换，把难问题映射成已解决的问题」是算法里极常见的套路——和归一化、坐标变换、特征工程一个思路：换个表示，问题立刻变简单。

🌱 大一新生提示

一句话：如果方程能整理成「只含 $\frac{y}{x}$」的样子，就令 $u=\frac{y}{x}$ 换元。 换元后 $y=ux$、$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$，代回去就变成 $u$ 与 $x$ 的可分离方程，按上一节的分家套路解，最后再把 $u$ 换回 $\frac{y}{x}$。

也可能出现$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\phi \left(\frac{x}{y}\right)$。

令$u=\frac{y}{x}$，则$y=ux$变为$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$（$u$不是一个常数而是一个关于$x$的函数，所以$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\ne u$），从而原方程变为$x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+u=\phi (u)$，即$\frac{\text{d}u}{\phi (u)-u}=\frac{\text{d}x}{x}$。

如$(xy-y^2)\text{d}x-(x^2-2xy)\text{d}y=0$可以化为$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{xy-y^2}{x^2-2xy}$，即$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\frac{y}{x}-{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{1-2\left(\frac{y}{x}\right)}$。

解决齐次方程问题的过程：令$u=\frac{y}{x}$；$y=xu$；$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$。

代入微分方程：$u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\phi (u)$，$\therefore x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\phi (u)-u$，分离变量：$\frac{\text{d}u}{\phi (u)-u}=\frac{\text{d}x}{x}$，求积分$\int \frac{\text{d}u}{\phi (u)-u}=\int \frac{\text{d}x}{x}$。最后求出积分再用$\frac{y}{x}$替代$u$。

若是方程可以变为齐次方程，则$x$和$y$的幂应该是对称的，可以尝试除以一个$x^a$来变为$\frac{y^a}{x^a}$形式。

例题：求$y^2+x^2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=xy\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$。

解：得到$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y^2}{xy-x^2}$。

然后将这个等式化为$\frac{y}{x}$的形式，分子分母同时除以$x^2$：$\frac{\frac{y^2}{x^2}}{\frac{xy-x^2}{x^2}}=\frac{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{\frac{y}{x}-1}$。

从而到第三步：$u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{u^2}{u-1}$，$\therefore x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{u^2}{u-1}-u=\frac{u}{u-1}$。

$\therefore \frac{u-1}{u}\text{d}u=\frac{\text{d}x}{x}$，$\therefore \int \frac{u-1}{u}\text{d}u=\int \frac{\text{d}x}{x}$，$u-\ln u=\ln x+C$，$\ln xu=u+C$。

代入$u=\frac{y}{x}$，得到$\ln y=\frac{y}{x}+C$，所以得到$y=C{e}^{\frac{y}{x}}$。

可化为齐次方程

对于自然齐次方程，其形式如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{A_{1}x+B_{1}y}{A_{2}x+B_{2}y}$，则可以除以$x$得到齐次方程。

而对于形式如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{A_{2}x+B_{2}y+C_2}$，则因为有常数项，所以不能直接除以$x$。

所以想尝试消去常数项。令$x=X+h$，$y=Y+k$。

$\therefore \frac{\text{d}Y}{\text{d}X}=\frac{A_{1}X+B_{1}Y+A_{1}h+B_{1}k+C_1}{A_{2}X+B_{2}Y+A_{2}h+B_{2}k+C_2}$，当取一个合适的$h$和$k$时常数项$A_{1}h+B_{1}k+C_1=A_{2}h+B_{2}k+C_2=0$，从而能化为齐次方程。

若$\frac{A_2}{A_1}\ne \frac{B_2}{B_1}$，则可以解得：

$\{\begin{array}{l}k=\frac{A_1{C}_2-A_2{C}_1}{A_2{B}_1-A_1{B}_2}\\ h=\frac{A_1{B}_1{C}_2-A_2{B}_1{C}_1+A_1{A}_2{B}_1{C}_1-A_1^2{B}_2{C}_1}{A_1^2{B}_2-A_1{A}_2{B}_1}\end{array}$.

若$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}$，即关系式对应成比例。

令$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}=\lambda$，$\therefore \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{\lambda (A_{1}x+B_{1}y)+C_2}$。

又令$A_{1}x+B_{1}y=v$，$\therefore \frac{\text{d}v}{\text{d}x}=A_1+B_1\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，$\frac{\text{d}v}{\text{d}x}=A_1+B_1\frac{v+C_1}{\lambda v+C_2}$

$=\frac{(A_1\lambda +B_1)v+A_1{C}_2+B_1{C}_1}{\lambda v+C_2}$。此时未知数只有$v$，所以可以按照可分离变量来处理。

一阶线性微分方程

线性方程

形如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)$就是一阶线性方程。因为其对未知函数$y$与其导数都是一次方程。

💻 计算机专业视角

一阶线性方程有「万能公式」，求解过程就是乘上一个积分因子 $e^{\int P\text{d}x}$ 把左边拼成一个乘积的导数。 常数变易法（先解齐次、再让常数变成函数 $C(x)$）和工程上「先求系统的自由响应，再叠加受迫响应」是同一套分解思想。线性＝可叠加，这正是信号与系统、控制理论能用传递函数处理的根本原因。

🌱 大一新生提示

一句话：$y$ 和 $y^{\prime }$ 都只出现一次方（不带平方、不互乘），就是线性方程，直接套公式。 公式 $y=e^{-\int P\text{d}x}\left(\int Q{e}^{\int P\text{d}x}\text{d}x+C\right)$ 背下来就能用。记忆口诀：非齐次的通解 ＝ 齐次通解 ＋ 一个非齐次特解。

若$Q(x)\equiv 0$，则是一阶齐次线性微分方程，可化为$\frac{\text{d}y}{y}=-P(x)\text{d}x$，$\ln y=\int P(x)\text{d}x+C^{\prime }$，$y=e^{-\int P(x)\text{d}x}\cdot e^{C^{\prime }}$，$y=C{e}^{-\int P(x)\text{d}x}$。

若$Q(x)\ne 0$，则是一阶非齐次线性微分方程，令$y=C(x)e^{-\int P(x)\text{d}x}$，$C(x)$为关于$x$的具体函数，这是常数变易法。

代入$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)$，得到$C(x{)}^{\prime }{e}^{-\int P(x)\text{d}x}-C(x)e^{-\int P(x)\text{d}x}P(x)+P(x)C(x)e^{-\int P(x)\text{d}x}=Q(x)$，$C(x{)}^{\prime }{e}^{-\int P(x)\text{d}x}=Q(x)$，从而得到$C(x{)}^{\prime }$，再对$C(x{)}^{\prime }$积分得到$C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C$。从而代入$y=C(x)e^{-\int P(x)\text{d}x}$，得到定理：$y=e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C)$。非齐次通解就是其齐次通解加上一个非齐次的特解。

例题：求$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{x+y}$。

解：不能直接做，因为不能分离出$y$。

可以两边求倒数：$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}-x=y$，颠倒$xy$，得到$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-y=x$。就可以按照公式来求。

或令$x+y=u$，所以$y=u-x$，$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}u}{\text{d}x}-1$，$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{1+u}{u}$，$\frac{u}{1+u}\text{d}u=\text{d}x$。

定理：一阶线性方程时，$\int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln |x|=\ln x$。

证明：令$p=\frac{1}{x}$，$\int p\text{d}x=\int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln |x|$。

根据公式$y=e^{-\ln |x|}(\int e^{\ln |x|}Q(x)\text{d}x+C)=\frac{1}{|x|}(\int |x|Q(x)\text{d}x+C)=\frac{1}{\pm x}(\int (\pm x)Q(x)\text{d}x+C)=\frac{1}{x}(\int xQ(x)\text{d}x\pm C)=\frac{1}{x}(\int xQ(x)\text{d}x+D)$。

同理$\ln y=\ln f(x)$，则$y=Cf(x)$。

伯努利方程

形如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$就是伯努利方程。若$y=1$则是可分离变量方程，若$y=0$则是一阶线性方程。

变形：$y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$，又令$y^{1-n}=z$，$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，从而$\frac{1}{1-n}\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，代入$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$得到$\frac{1}{1-n}\frac{\text{d}z}{\text{d}x}+P(x)z=Q(x)$，从而$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$，将$(1-n)P(x)$当作$P(x)$，$(1-n)Q(x)$当中$Q(x)$代入得到$z$的关系式，再利用上面线性方程的公式求$y$。

可降阶的高阶微分方程

高阶微分方程即含二阶以及二阶以上的微分方程，需要将其降为一阶微分方程。

$y^{(n)}=f(x)$ 型

右边是只包含$x$的函数。

直接对函数不断求积分就可以了。连续积分$n$次，会得到一个含有$n$个任意常数的通解。这种方程没有特定出题考的意义。

例题：求$y^{\prime \prime \prime }=e^{2x}-\cos x$。

解：$y^{\prime \prime }=\frac{1}{2}{e}^{2x}-\sin x+C_1$，$y^{\prime }=\frac{1}{4}{e}^{2x}+\cos x+C_{1}x+C_2$，$y=\frac{1}{8}{e}^{2x}+\sin x+\frac{1}{2}{C}_1{x}^2+C_{2}x+C_3$。

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型

即存在$y^{\prime \prime }$，$y^{\prime }$和$x$但是没有$y$。

所以令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=p^{\prime }$，代入：$p^{\prime }=f(x,p)$，代入$p=\phi (x,C_1)$，所以$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\phi (x,C_1)$，对其积分：$y=\int \phi (x,C_1)\text{d}x+C_2$。

例题：求$(1+x^2)y^{\prime \prime }=2x{y}^{\prime }$，满足初值条件$y{|}_{x=0}=1$，$y^{\prime }{|}_{x=0}=3$的特解。

解：令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=p^{\prime }$，所以$(1+x^2)p^{\prime }=2xp$。

$\frac{\text{d}p}{p}=\frac{2x}{1+x^2}\text{d}x$，$\ln p=\ln (1+x^2)+C^{\prime }$，$p=C(1+x^2)$，所以$y^{\prime }=3(1+x^2)$，$y=x^3+3x+1$。

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ 型

即存在$y^{\prime \prime }$，$y^{\prime }$和$y$但是没有$x$。

所以令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=p^{\prime }=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}=f(y,p)$。

设其通解为$y^{\prime }=p=\phi (y,C_1)$。

分离变量并积分，得到通解为$\int \frac{\text{d}y}{\phi (y,C_1)}=x+C_2$。

例题：求微分方程$y{y}^{\prime \prime }-y^{\prime 2}=0$的通解。

解：令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$，代入$yp\frac{\text{d}p}{\text{d}y}-p^2=0$。

若$p\ne 0$，$y\ne 0$，则$yp\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$，$\frac{\text{d}p}{p}=\frac{\text{d}y}{y}$，$p=Cy$。

若$p=0$，则$y^{\prime }=0$，则$y$是一个常数。

所以综上$y=C_2{e}^{C_{1}y}$。

高阶线性微分方程

第一部分是一阶微分方程，分为可分离变量微分方程、齐次微分方程、一阶齐次线性微分方程、一阶非齐次线性微分方程。

第二部分是可降阶的高阶微分方程，是残缺项的高阶微分方程，分为三种。

第三部分就是本节的高阶线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$就是$n$阶齐次线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)$就是$n$阶非齐次线性微分方程

概念

定义：方程$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$称为二阶变系数线性微分方程，其中$P(x)$，$Q(x)$为系数函数，$f(x)$为自由项，都是已知的连续方程。

当$f(x)\equiv 0$时，$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$为齐次方程。

当$f(x)$不恒为0时，$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$为非齐次方程。

定义：方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$称为二阶常系数线性微分方程，其中$p$，$q$为常数，$f(x)$为自由项，都是已知的连续方程。

当$f(x)\equiv 0$时，$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$为齐次方程。

当$f(x)$不恒为0时，$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$为非齐次方程。

考试基本上只考常系数线性微分方程。

解的结构

若${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$为两个函数，当${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$不成比例，则称${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$线性无关，否则${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$线性相关。

定理：若${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$的解，则$y=C_1{\phi }_1(x)+C_2{\phi }_2(x)$也为其解。

证明：因为${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$为解，所以代入方程：

${\phi }_1^{\prime \prime }+a(x){\phi }_1^{\prime }+b(x){\phi }_1=0$，${\phi }_2^{\prime \prime }+a(x){\phi }_2^{\prime }+b(x){\phi }_2=0$

从而$(C_1{\phi }_1+C_2{\phi }_2{)}^{\prime \prime }+a(x)(C_1{\phi }_1+C_2{\phi }_2{)}^{\prime }+b(x)(C_1{\phi }_1+C_2{\phi }_2)=C_1({\phi }_1^{\prime \prime }+a(x){\phi }_1^{\prime }+b(x){\phi }_1)+C_2({\phi }_2^{\prime \prime }+a(x){\phi }_2^{\prime }+b(x){\phi }_2)=0$。

所以得证。

定理：若${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$分别为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$与$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)$的解，则$y={\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)$的解。

证明：${\phi }_1^{\prime \prime }+a(x){\phi }_1^{\prime }+b(x){\phi }_1=0$，${\phi }_2^{\prime \prime }+a(x){\phi }_2^{\prime }+b(x){\phi }_2=f(x)$，代入$y={\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)$：

$({\phi }_1+{\phi }_2{)}^{\prime \prime }+a(x)({\phi }_1+{\phi }_2{)}^{\prime }+b(x)({\phi }_1+{\phi }_2)=({\phi }_1^{\prime \prime }+a(x){\phi }_1^{\prime }+b(x){\phi }_1)+({\phi }_2^{\prime \prime }+a(x){\phi }_2^{\prime }+b(x){\phi }_2)=f(x)$。

所以得证。

定理：若${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)$的解，则$y={\phi }_1(x)-{\phi }_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$的解。

证明：${\phi }_1^{\prime \prime }+a(x){\phi }_1^{\prime }+b(x){\phi }_1=f(x)$，${\phi }_2^{\prime \prime }+a(x){\phi }_2^{\prime }+b(x){\phi }_2=f(x)$，代入$y={\phi }_1(x)-{\phi }_2(x)$：

$({\phi }_2-{\phi }_1{)}^{\prime \prime }+a(x)({\phi }_2-{\phi }_1{)}^{\prime }+b(x)({\phi }_2-{\phi }_1)$

$({\phi }_2^{\prime \prime }+a(x){\phi }_2^{\prime }+b(x){\phi }_2)-({\phi }_1^{\prime \prime }+a(x){\phi }_1^{\prime }+b(x){\phi }_1)$

$f(x)-f(x)=0$，所以得证。

定理：若${\phi }_1(x)$与${\phi }_2(x)$分别为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f_1(x)$与$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f_2(x)$的解，则$y={\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的解。

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

可以根据高阶微分方程的解的结构得到二阶的通解。

对于$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$，其对应的特征方程为${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，求其特征根，有三种情况（${\lambda }_1{\lambda }_2$为任意常数）：

💻 计算机专业视角

特征方程的根 ≈ 线性系统的「特征值」，直接决定系统稳定性。 把高阶方程写成一阶向量方程 $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$，特征根就是矩阵 $A$ 的特征值：实根负 → 指数衰减（稳定），实根正 → 发散；复根 $\alpha \pm \beta i$ → 振荡，实部 $\alpha$ 决定包络是收敛还是放大、虚部 $\beta$ 是振荡频率。这就是控制系统极点分析、RLC 电路、PID 调参背后的数学。

🌱 大一新生提示

一句话：把 $y^{\prime \prime }$、$y^{\prime }$、$y$ 换成 ${\lambda }^2$、$\lambda$、$1$，解出 $\lambda$，再按三种情况套通解。 两不等实根 → $C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$；二重根 → $(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$（记得补个 $x$）；共轭复根 $\alpha \pm \beta i$ → $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。判别式定情况，套对公式即可。

1. 若$p^2-4q>0$，设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是特征方程的两个不等实根，即${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，其通解为$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$。
2. 若$p^2-4q=0$，设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是特征方程的两个相等实根，即二重根，令$\lambda ={\lambda }_1={\lambda }_2$，其通解为$y=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$。
3. 若$p^2-4q<0$，设$\alpha \pm \beta i$是特征方程的一对共轭复根，${\lambda }_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{4q-p^2}i}{2}=-\frac{p}{2}\pm \frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}i$，记为$\alpha \pm \beta i$，其通解为$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解就是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解

💻 计算机专业视角

自由项 $f(x)$ ≈ 系统的「输入/激励」，特解 ≈ 系统对这个输入的受迫响应（稳态响应）。 待定系数法就是猜「输出和输入同类型」：输入是指数就猜指数、输入是正弦就猜正弦——这正是频域分析里「线性系统对正弦输入的稳态输出还是同频正弦」的时域版本。当输入频率撞上系统固有频率（$\alpha \pm \beta i$ 是特征根）就要乘 $x^k$，对应物理上的共振。

🌱 大一新生提示

一句话：特解的形式照着右边 $f(x)$ 的「长相」去猜，再代回方程定系数。 右边是 $P_n(x)e^{\alpha x}$ 就猜 $e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$，带 $\cos /\sin$ 就猜带 $\cos /\sin$ 的式子。那个 $x^k$ 是「补偿因子」：$\alpha$（或 $\alpha \pm \beta i$）越是特征根，越要多乘几个 $x$（$k=0,1,2$）避免和齐次解撞车。

设$P_n(x)$，$P_m(x)$分别为$x$的$n$次、$m$次多项式。

1. 当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$时，特解设为$y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$，其中$e^{\alpha x}$照抄，$Q_n(x)$为$x$的$n$次多项式，且$k=\{\begin{array}{ll}0,& \alpha \text{不是特征根}\\ 1,& \alpha \text{是单特征根}\\ 2,& \alpha \text{是二重特征根}\end{array}$。
2. 当自由项$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$时，特解设为$y^{\ast }=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin \beta x]x^k$，其中$e^{\alpha x}$照抄，$l=\max \{m,n\}$，$Q_l^{(1)}$、$Q_l^{(2)}$为$x$的两个不同的$l$次多项式，且$k=\{\begin{array}{ll}0,& \alpha \pm \beta i\text{不是特征根}\\ 1,& \alpha \pm \beta i\text{是特征根}\end{array}$。

最后求导代回原式得到系数值。

对于第二种需要举例说明一下，如果$f(x)=e^{7x}[(x^2+3x)\cos 4x+(x+6)\sin 4x]$，其特解设法：首先$e^{7x}$直接写过来；然后判断多项式系数，第一个多项式最高次数为2，第二个多项式最高次数为1，所以$l$为较高那个即2，所以设为$e^{7x}[(A_1{x}^2+B_{1}x+C)\cos 4x+(A_2{x}^2+B_{2}x+C)\sin 4x]$（当然一般不会这么高，基本上都是一次的$A\cos \beta x+B\sin \beta x$的形式）；最后判断其特征根，$7\pm 4i$是否为特征根，如果$\Delta >0$特征根$\lambda$是实数就肯定不是，不需要算直接$k=0$。

欧拉方程

概念

定义：形如$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=f(x)$的方程称为欧拉方程，其中$pq$为常数，$f(x)$为已知函数。

注意与一般的二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$对比，其二阶导和一阶导前面多了$x$的多项式。

解法

使用换元法$x=e^t$将欧拉方程换为二阶常系数非齐次线性方程。

💻 计算机专业视角

欧拉方程的变系数 $x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy$ ≈ 在对数坐标 $t=\ln x$ 下「拉直」成常系数方程。 换元 $x=e^t$ 把乘性的 $x$ 尺度变成加性的 $t$ 平移——和算法里对幂律数据取 log 化曲为直、FFT 把卷积变乘积是同一种哲学：换一个坐标系，让原本难处理的结构变成已有现成解法的标准形。

🌱 大一新生提示

一句话：欧拉方程比常系数方程多了 $x$ 的幂，令 $x=e^t$（即 $t=\ln x$）就能把它变回常系数方程。 换元后用本章学过的特征方程法解出关于 $t$ 的 $y$，最后把 $t=\ln x$ 代回去即可。记住触发条件：二阶导前带 $x^2$、一阶导前带 $x$，幂次和求导阶数正好配对。

当$x>0$时，令$x=e^t$，则$t=\ln x$，$\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=\frac{1}{x}$，$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$，$\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{1}{x}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{1}{x}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{1}{x^2}\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}$，方程化为$\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}+(p-1)\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+qy=f(e^t)$，解出结果，组后用$t=\ln x$回代。

当$x<0$是，令$x=-e^t$，同理可得。

例题：求欧拉方程$x^2\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}+4x\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+2y=0$（$x>0$）的通解。

解：可以直接利用公式，变为$\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}+3\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+2y=0$

即$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$，特征方程${\lambda }^2+3\lambda +2=0$，${\lambda }_1=-1$，${\lambda }_2=-2$。

$\therefore y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}$。代入$x=e^t$，$y=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2}$。