行列式（习题）

逆序

逆序一般只会考一个数列的逆序数，一般以自然数从小到大为标准次序。

对于逆序数的计算一般是数，假设一共有$n$项，则需要依次从$i$向后判断各项与当前项的大小，最后相加。

有穷排列

对于给出几个数字的有限排列，只需要直接计算即可。

例题：求2413的逆序数。

解：2的逆序有21一个。4的逆序与41、43两个。1无逆序数，所以一共逆序数为3。

无穷排列

例题：求$13\cdots (2n-1)(2n)(2n-2)\cdots 2$的逆序数。

解：这个序列分为两个部分，第一个是前面的$13\cdots (2n-1)$部分，这个部分无逆序。

第二个部分是后面的$(2n)(2n-2)\cdots 2$，这个序列是全部逆序的，所以考虑其第二个内部一共有$n$个数，从前往后依次有$n,(n-1),\cdots ,1$个逆序，所以逆序数为$\frac{n(n-1)}{2}$。

然后是考虑第二个部分对于第一个部分的逆序。$2n-2$对$2n-1$产生一个逆序，到最后的2对前面的$3\cdots (2n-1)$都产生了逆序一共$n-1$个，所以一共$\frac{n(n-1)}{2}$个逆序。

所以最后一共加起来与$n(n-1)$个逆序。

因式项

需要求出带有某些因子的因式项，其实就是对顺序的排列组合，若已经给出某些因式，则因式项的其他因子就必须是其他数值。

且还要考虑因式项的正负号，即选择的值序列的逆序数。

例题：写出四阶行列式中含有$a_{11}{a}_{23}$的因式项。

解：因为是四阶行列式，且含有$a_{11}{a}_{23}$，所以余下来的$a_{3?}$和$a_{4?}$中的$?$只有2和4可选。

若是$a_{11}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{44}$，则列坐标序列为$1324$，从而逆序数为1，所以该项为$-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{44}$。

若是$a_{11}{a}_{23}{a}_{34}{a}_{42}$，则列坐标序列为$1342$，从而逆序数为2，所以该项为$a_{11}{a}_{23}{a}_{34}{a}_{42}$。

$\therefore -a_{11}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{44}+a_{11}{a}_{23}{a}_{34}{a}_{42}$。

行列式

包含直接计算行列式的值和已知行列式值计算参数值两种体型，基本上求解方式一致。

证明行列式值与计算行列式值的题型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。

💻 计算机专业视角

引导句：这一节的「化三角再连乘对角线」正是数值线代里 LU 分解 / 高斯消元求行列式的算法核心。手算靠余子式按行展开是 $O(n!)$，根本算不动大矩阵；工程上一律先把矩阵消成上三角（$O(n^3)$），再把对角元乘起来即得 $\det$。而 $\det =0$ 等价于矩阵奇异、不可逆、列向量线性相关——这正是判断线性方程组是否唯一可解、矩阵能否求逆的开关。

🌱 大一新生提示

一句话提示：行列式算到最后是一个数。本节所有技巧（提公因式、拆项、化三角、按行展开）目的只有一个：把一个看起来很乱的行列式，通过「行/列变换不改变值（倍加）、对换变号、整行乘 $k$ 则值乘 $k$」这几条规则，变成能一眼算出的特殊形状（三角形、对角线）。先记住这几条变换规则，再对着例题套路即可。

基本行列式与计算

主对角线行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & \ddots & \cdots & a_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ a_{21}& \ddots & & \\ ⋮& \cdots & \ddots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}\cdots a_{nn}$

副对角线行列式

$\left|\begin{array}{cccc}& & & a_{1n}\\ & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& a_{2n}\\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ a_{n1}& & & \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}& & & a_{1n}\\ & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ a_{n1}& & & \end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}\cdots a_{n1}$

范德蒙德行列式

$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ \cdots & \cdots & ⋮& \cdots \\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1⩽j<i⩽n}(a_i-a_j)$

💻 计算机专业视角

引导句：范德蒙德矩阵就是多项式插值的系数矩阵：用 $n$ 个互异点 $a_1,\dots ,a_n$ 拟合一条 $n-1$ 次多项式，解的就是范德蒙德线性方程组。它的行列式 ${\prod }_{j<i}(a_i-a_j)\ne 0$（当各点互异）正好保证了「过 $n$ 个不同点的 $n-1$ 次多项式存在且唯一」。代价是它数值上极其病态（条件数随 $n$ 爆炸），所以实际算插值常改用牛顿/拉格朗日基或 FFT，而 FFT 用的单位根范德蒙德矩阵恰恰良态。

🌱 大一新生提示

一句话提示：范德蒙德行列式有固定公式，遇到「每一列是 $1,a,a^2,\dots ,a^{n-1}$ 这样逐次升幂」的行列式直接套 ${\prod }_{1⩽j<i⩽n}(a_i-a_j)$（所有「下标大的减下标小的」连乘）。考试常考变形：长得像但差一行/多一行，就像例题那样先用行变换凑成标准范德蒙德形，再套公式。

例题：求$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2^2& 3^2& 4^2\\ 1& 2^3& 3^3& 4^3\\ 9& 8& 7& 6\end{array}\right|$。

解：这个式子非常像范德蒙德行列式，但是差一行1。所以我们要把最后一行变为同样值。可以观察得到第四行加最后一行为10，所以

$=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2^2& 3^2& 4^2\\ 1& 2^3& 3^3& 4^3\\ 10& 10& 10& 10\end{array}\right|=10\times (-1{)}^3\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 2^2& 3^2& 4^2\\ 1& 2^3& 3^3& 4^3\end{array}\right|=-10\times 2\times 3\times 2=-120$。

分块行列式

也称为拉普拉斯展开式，设$A$为$m$阶矩阵，$B$为$n$阶矩阵：

$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ \ast & B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$。

$\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& \ast \end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A|\cdot |B|$。

爪形行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \ddots & & \\ ⋮& & \ddots & \\ a_{n1}& & & a_{nn}\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & a_{1n}\\ a_{21}& & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & a_{1n}\\ & \ddots & & a_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$，

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& a_{2n}\\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & ⋮\\ a_{n1}& & & a_{nn}\end{array}\right|$。低阶直接进行展开，高阶需要使用递推法。

异爪形行列式

每种爪形行列式都能变为三种异爪形行列式，如$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \ddots & & \\ ⋮& & \ddots & \\ a_{n1}& & & a_{nn}\end{array}\right|$：

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & a_{nn}\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& & \\ a_{21}& \ddots & \ddots & \\ ⋮& & \ddots & \ddots \\ a_{n1}& & & a_{nn}\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& & \\ a_{21}& \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & a_{nn}\end{array}\right|$。

基本方法是用斜着的数消去平的数，从而让异爪形行列式变为三角行列式。

例题：计算$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right|$。

解：各行提取斜对角线数$=2\times 3\times 4\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ \frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ \frac{1}{3}& 0& 1& 0\\ \frac{1}{4}& 0& 0& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}-\frac{1}{12}& 0& 0& 0\\ \frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ \frac{1}{3}& 0& 1& 0\\ \frac{1}{4}& 0& 0& 1\end{array}\right|=-2$。

基本行列式计算

基本的计算方式是对角线法则计算与行列式展开两种方法。若符合基本特殊行列式的可以按照公式。

但是对于一般的高阶行列式而言计算方式如下：

• 通过行列式的对换让一行或一列只有一个元素不为0，进行行列式展开不断降阶，最后变成第三阶的时候使用对角线法则。
• 通过行列式的对换从上往下让行列式变成上三角行列式，对角线相乘就得到结果。

这两种方式可以混合使用，直接展开可以在有足够多的0的情况下使用或阶数较低的情况下使用。

例题：计算$\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& a& b& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b\\ b& 0& 0& \cdots & 0& a\end{array}\right|$。

解：直接按第一列展开：

$=a(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{ccccc}a& b& \cdots & 0& 0\\ 0& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & a& b\\ 0& 0& \cdots & 0& a\end{array}\right|+b\cdot (-1{)}^{n+1}\left|\begin{array}{ccccc}b& 0& \cdots & 0& 0\\ a& b& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & b& 0\\ 0& 0& \cdots & a& b\end{array}\right|$

$=a\cdot a^{n-1}+(-1{)}^{n+1}b\cdot b^{n-1}=a^n+(-1{)}^{n+1}{b}^n$。

提取公因式

可以提取某一行或某一列的公因式。

例题：证明$\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& ab& b^2\\ 2a& a+b& 2b\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=(a-b{)}^3$。

证明：因为是证明题，而结果是$(a-b)$的变形，所以我们需要不断提取出$a-b$的形式。

$=-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2a& a+b& 2b\\ a^2& ab& b^2\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ a-b& a-b& 2b\\ a(a-b)& b(a-b)& b^2\end{array}\right|=-(a-b{)}^2\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 1& 2b\\ a& b& b^2\end{array}\right|$

$=-(a-b{)}^2\cdot 1\cdot (-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ a& b\end{array}\right|=-(a-b{)}^2(b-a)=(a-b{)}^3$。

例题：证明$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a& b& c& d\\ a^2& b^2& c^2& d^2\\ a^4& b^4& c^4& d^4\end{array}\right|=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)$。

证明：这个形式看起来像范德蒙德行列式，但是根据后面的结果，发现这无法通过范德蒙德行列式的公式来计算，所以按照一般方法相减得到因子：

$=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& b-a& c-a& d-a\\ a^2-a^2& b^2-ab& c^2-ac& d^2-ad\\ a^4-a^4& b^4-a^2{b}^2& c^4-a^2{c}^2& d^4-a^2{d}^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& b-a& c-a& d-a\\ 0& b(b-a)& c(c-a)& d(d-a)\\ 0& b^2(b+a)(b-a)& c^2(c+a)(c-a)& d^2(d+a)(d-a)\end{array}\right|$

$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& b& c& d\\ 0& b^2(b+a)& c^2(c+a)& d^2(d+a)\end{array}\right|$

$=(b-a)(c-a)(d-a)\cdot 1\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ b& c& d\\ b^2(b+a)& c^2(c+a)& d^2(d+a)\end{array}\right|$

$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& c-b& d-b\\ 0& c(c^2+ac-ab-b^2)& d(d^2+ad-ab-b^2)\end{array}\right|$

$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& c-b& d-b\\ 0& c(a+b+c)(c-b)& d(a+b+d)(d-b)\end{array}\right|$

$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{cc}c-b& d-b\\ c(a+b+c)(c-b)& d(a+b+d)(d-b)\end{array}\right|$

$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ c(a+b+c)& d(a+b+d)\end{array}\right|$

$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(c(a+b+c)-d(a+b+d))$

$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(ca+cb+c^2-da-db-d^2)$

$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(a(c-d)+b(c-d)+(c+d)(c-d))$

$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(c-d)(a+b+c+d)$。

转换三角行列式

通过行变换或列变换将行列式转换三角行列式，然后就可以根据对角线乘积得到结果。

例题：计算$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 4& 1\\ 1& 4& 1& 2\\ 1& 1& 2& 3\end{array}\right|$。

解：$=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 1& -3\\ 0& 1& -3& 1\\ 0& -1& -1& -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 1& -3\\ 0& 0& -4& 4\\ 0& 0& 0& -4\end{array}\right|=16$。

成比例为0

当行列式行列变换后某一行或某一列与另一行或列成比例，则整个行列式值为0。

例题：计算$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 4& 1\\ 3& -1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 2\\ 5& 0& 6& 2\end{array}\right|$。

解：$=\left|\begin{array}{cccc}0& -3& -2& -3\\ 0& -7& -7& -5\\ 1& 2& 3& 2\\ 0& -10& -9& -8\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 2\\ 0& -3& -2& -3\\ 0& -7& -7& -5\\ 0& -10& -9& -8\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 2\\ 0& 3& 2& 3\\ 0& 7& 7& 5\\ 0& -10& -9& -8\end{array}\right|$

$=3\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 2\\ 0& 1& \frac{2}{3}& 1\\ 0& 7& 7& 5\\ 0& -10& -9& -8\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 2\\ 0& 1& \frac{2}{3}& 1\\ 0& 0& \frac{7}{3}& -2\\ 0& 0& -\frac{7}{3}& 2\end{array}\right|=0$。

拆项

若行列式某一行或一列是有两个值构成，则可以把其拆开，其他部分行列不变。

例题：证明$\left|\begin{array}{ccc}ax+by& ay+bz& az+bx\\ ay+bz& az+bx& ax+by\\ az+bx& ax+by& ay+bz\end{array}\right|=(a^3+b^3)\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right|$。

证明：首先因为上下因式的系数是$ab$，所以无论怎么样减都无法消去多余的$xy$或$z$得到结果的行列式中只有单个因子的情况，所以只能拆项，从第一个项开始拆：

$=a\left|\begin{array}{ccc}x& ay+bz& az+bx\\ y& az+bx& ax+by\\ z& ax+by& ay+bz\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}y& ay+bz& az+bx\\ z& az+bx& ax+by\\ x& ax+by& ay+bz\end{array}\right|$

$=a^2\left|\begin{array}{ccc}x& ay+bz& z\\ y& az+bx& x\\ z& ax+by& y\end{array}\right|+b^2\left|\begin{array}{ccc}y& z& az+bx\\ z& x& ax+by\\ x& y& ay+bz\end{array}\right|=a^3\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right|+b^3\left|\begin{array}{ccc}y& z& x\\ z& x& y\\ x& y& z\end{array}\right|$

$=a^3\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right|+b^3\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right|=(a^3+b^3)\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right|$

行列乘积为定值

当行列式每一行或每一列相乘都为一个固定的值，可以把每行或每列的公因子提出来来简化计算。

例题：计算$\left|\begin{array}{ccc}-ab& ac& ae\\ bd& -cd& de\\ bf& cf& -ef\end{array}\right|$。

解：$=adf\left|\begin{array}{ccc}-b& c& e\\ b& -c& e\\ b& c& -e\end{array}\right|=abcdef\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right|=4abcdef$。

行列加和为定值

当行列式每一行或每一列相加都为一个固定的值，可以把第二行开始的各行都加到第一行或列，再提取公因式，提出后第一行或第一列变为1，再依次对每行或每列进行消去，最终变成对角线行列式。

例题：计算$\left|\begin{array}{cccc}x& a& \cdots & a\\ a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \cdots & x\end{array}\right|$。

解：$=\left|\begin{array}{cccc}x+(n-1)a& x+(n-1)a& \cdots & x+(n-1)a\\ a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \cdots & x\end{array}\right|$

$=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a& a& \cdots & x\end{array}\right|=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ & x-a& & \\ & & \ddots & \\ & & & x-a\end{array}\right|$

$=(x+(n-1)a)(x-a{)}^{n-1}$。

例题：计算$\left|\begin{array}{cccc}1+a_1& a_1& \cdots & a_1\\ a_2& 1+a_2& \cdots & a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_n& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$。

解：$=(1+a_1+a_2+\cdots +a_n)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_2& 1+a_2& \cdots & a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_n& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|$

$=(1+a_1+a_2+\cdots +a_n)\left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ a_2& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& 0& \cdots & 1\end{array}\right|=(1+a_1+a_2+\cdots +a_n)$。

分块行列式

就是分块行列式的拓展，也称为拉普拉斯展开式，当行列式左下角和右上角的矩阵为零矩阵时可以只考虑对角线矩阵的乘积值。

例题：计算$\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& b_1\\ 0& a_2& b_2& 0\\ 0& b_3& a_3& 0\\ b_4& 0& 0& a_4\end{array}\right|$。

$=-\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& 0& 0\\ 0& 0& a_2& b_2\\ 0& 0& b_3& a_3\\ b_4& a_4& 0& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& 0& 0\\ b_4& a_4& 0& 0\\ 0& 0& b_3& a_3\\ 0& 0& a_2& b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ b_4& a_4\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{b}_3& a_3\\ a_2& b_2\end{array}\right|=(a_1{a}_4-b_1{b}_4)(a_2{a}_3-b_2{b}_3)$。

递推法

当行列式一共有$n$项，很多时候都需要使用到递推法，递推法也一般与其他方法共同使用。

💻 计算机专业视角

引导句：把 $n$ 阶行列式按行展开成「$D_n$ 用 $D_{n-1}$（有时还有 $D_{n-2}$）表示」的递推式，本质就是动态规划 / 递归：例题里的三对角矩阵给出 $D_n=D_{n-1}+1$，二阶分块给出 $D_{2n}=(ad-bc)D_{2(n-1)}$。三对角矩阵行列式在数值线代里极常见（样条插值、有限差分解微分方程），其行列式正是用这种 $O(n)$ 的线性递推求的，比通用消元还快。

🌱 大一新生提示

一句话提示：当行列式是「一个会随 $n$ 增大、结构重复」的形式（比如三对角、带状），别硬算——把它按第一行/列展开，写出 $D_n$ 和 $D_{n-1}$ 的关系（递推式），再像数列一样求通项。关键是先找对递推式，剩下就是中学数列的活。

例题：计算${\left|\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ -1& 2& -1& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& -1\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|}_{n\times n}$

解：这是一个爪形行列式，然而无法通过斜的数数据来消去平的数据，考虑将所有列都加到第一列：

$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}1& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 2& -1& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& -1\\ 1& 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|=1\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{ccccc}2& -1& \cdots & 0& 0\\ -1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 2& -1\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|$

$+1\cdot (-1{)}^{n+1}\left|\begin{array}{ccccc}-1& 0& \cdots & 0& 0\\ 2& -1& \cdots & 0& 0\\ -1& 2& \ddots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \cdots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 2& -1\end{array}\right|=D_{n-1}+1\cdot (-1{)}^{n+1}(-1{)}^{n-1}$

$\therefore D_n=D_{n-1}+1$。这就是本题目的递推式。$D_n=D_1+n-1=2+n-1=1+n$。

注意：对于爪形和异爪形行列式的递推时，只能从爪尖开始消（行列式展开），不能从爪根部消，否则就不能保证爪的形状。

例题：计算${\left|\begin{array}{cccccc}a& & & & & b\\ & \ddots & & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ & & a& b& & \\ & & c& d& & \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & & \ddots & \\ c& & & & & d\end{array}\right|}_{2n\times 2n}$。

解：将其$2n$行不断与$2n-1\cdots 2$行对换，再将其$2n$列不断与$2n-1\cdots 2$列对换，一共对换$2(2n-2)$次，一定是一个偶数：

$={\left|\begin{array}{cccccccc}a& b& 0& & & \cdots & & 0\\ c& d& 0& & & \cdots & & 0\\ 0& 0& a& & & & & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ ⋮& ⋮& ⋮& & a& b& & \\ ⋮& ⋮& ⋮& & c& d& & \\ ⋮& ⋮& ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & & \ddots & \\ 0& 0& c& & & & & d\end{array}\right|}_{2n\times 2n}$，根据分块行列式的计算方式：

$D_{2n}=D_2{D}_{2(n-1)}=(ad-bc)D_{2(n-1)}$，所以不断递推可以得到结果为$(ad-bc{)}^n$。

矩阵乘积

代数余子式

已知某一行或列展开就是每一行或列的元素乘对应的代数余子式，就可以得到整个矩阵的值。若是求某一行或某一列的代数余子式的值，将其系数代入矩阵求就可以了。

💻 计算机专业视角

引导句：代数余子式 $A_{ij}$ 拼起来就是伴随矩阵（adjugate），进而给出逆矩阵公式 $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$ 和克拉默法则。这套公式理论上漂亮，但计算复杂度是阶乘级的，工程上从不用它求逆或解方程组（一律用 LU/QR）。它真正有用的地方在符号计算与理论推导。本题的技巧——「$\sum c_i{A}_{ij}$ 等于把第 $j$ 列换成系数列 $c_i$ 后的新行列式」——正是克拉默法则的雏形。

🌱 大一新生提示

一句话提示：记住一个超实用的小技巧：某行（列）元素乘上「另一组系数」对应的代数余子式再求和，等于把那一行（列）换成这组系数后新行列式的值。所以遇到 $A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}$ 这种，不用真去一个个算余子式，直接把原行列式的第 3 行换成 $(1,3,-2,2)$ 再算整个行列式即可。

例题：设$D=\left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 2& 0& 1& -1\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|$，$D$的$(i,j)$元的代数余子式设为$A_{ij}$，求$A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}$。

解：$A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}=\left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 1& 3& -2& 2\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -2& 2\\ 0& 8& -5& 5\\ 0& 0& 3& -4\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right|=24$。