多元函数微分学

基本概念

平面与点

平面点集

定义：在平面上建立直角坐标系$xOy$，则平面上的点可用两个实数组的有序数组$(x,y)$表示，而二元函数$f(x,y)$的定义域是$(x,y)$为元素的几何，所以$f(x,y)$的定义域就是平面上的点集。

距离

定理：平面上任意两点$M_1(x_1,y_1)$与$M_2(x_2,y_2)$之间距离定义为$\rho (M_1,M_2)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$。

$\rho (M_1,M_2)$满足：

• 非负性：$\rho (M_1,M_2)⩾0$。
• 对称性：$\rho (M_1,M_2)=\rho (M_2,M_1)$。
• 三角不等式：$\rho (M_1,M_3)⩽\rho (M_1,M_2)+\rho (M_2,M_3)$。

邻域

设$M_0$为平面上一点，$\delta >0$，则平面上以$M_0$为圆心，$\delta$为半径的圆的内部称为$M_0$的$\delta$邻域，记为$U(M_0,\delta )$。

若邻域中去掉圆心$M_0$，称为$M_0$的$\delta$去心邻域，记为$\mathring{U}(M_0,\delta )$。

点的分类

定义：设$M$为平面上一个点，若存在$\delta >0$，使得$U(M,\delta )\subset E$，则$M$为点集$E$的内点。

定义：若存在$\delta >0$，使得$U(M,\delta )\cap E=\varnothing$，则$M$为点集$E$的外点。

定义：若对任意$\delta >0$，$U(M,\delta )$即有$E$内的点也有外的点，则$M$为点集$E$的边界点。

定义：$E$所有边界点的集合称为$E$的边界，记为$\partial E$。对于任意一个点集$E$与其余集$E^C$有公共边界，即$\partial E=\partial E^C$。

集合

定义：设$E$为一个平面点集，若存在常数$\delta >0$，使得$E\subset U(O,\delta )$，则$E$为有界集，否则为无界集。

定义：若$E$中的每个点都是$E$的内点，则$E$为开集，若$E$的边界点都是$E$的点，则$E$为闭集。若一个点集是开集，则其余集为闭集，若一个点集为闭集，则其余集为开集。

定义：若$E$中任意两点，都可用一条完全属于$E$的曲线将其两点连接，则$E$为（道路）连通集，连通的开集为开区域，一个开区域和其边界点的并集为闭区域，统称区域。

定义：若$E$内任意一条简单闭曲线的内部还在$E$内，则$E$为单连通区域，否则为多连通区域。

聚点

定义：对一个平面点集$E$，$M_0$为平面上一点，若对任意$\delta >0$，总有$\mathring{U}(M_0,\delta )\cap E\ne \varnothing$，即$M_0$的任意邻域中都含有异于$M_0$的$E$中的点，则$M_0$为$E$的聚点。

定理：非空开集的内点余边界点都是这个点集的聚点，闭区域的任意一点都是其聚点。

定义：若存在$\delta >0$，使得$U(M_0,\delta )\cap E=\{M_0\}$，即如果$M_0$的某一邻域与点集$E$的交集是一个孤立的点$M_0$，则称$M_0$为$E$的孤立点。边界点要么是聚点要么是孤立点。

极限

对于一元函数的极限可用列举法，从两端逼近该点取极限，但是对于多元函数所处的邻域，逼近方向为无穷，所以不可能再通过取两个方向逼近的方式求极限。

从点集来看定义：设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$为$D$聚点。若存在常数$A$，对于任意给定正数$ϵ$，总存在正数$\delta$，使得当$P(x,y)\in D\cap \mathring{U}(P_0,\delta )$时，都有$|f(x,y)-A|<ϵ$成立，则常数$A$为$f(x,y)$当$(x,y)\to (x_0,y_0)$时的极限，记为$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$或$f(x,y)\to A((x,y)\to (x_0,y_0))$。

如$\because xy\ne 0$排除$xy$轴：$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy+1-1}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}$。

从邻域来看定义：若二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的去心邻域内有定义，且$(x,y)$以任意方式趋向$(x_0,y_0)$时，$f(x,y)$均趋向于$A$，则$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)=A$。

根据邻域的定义，由于函数$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$在坐标轴上无定义，则极限不存在。

此时两种定义就会有两种结论，所以为了避免这种定义不同的矛盾，就只会出现哪种定义下极限存在或都不存在的函数，如$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2}=0$。

从现实角度来看，点集定义是更合理的，若要求一根弯曲铁丝在某点的导数，第二种定义无法求，所以不合理。而第二种定义是从一元极限定义直接升级过来，所以有一定局限性。

连续

定义：若$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续。

若不连续，则不讨论间断类型。

偏导数

当含有两个以及三个变量时，若求一个极限，则有多个变量同时趋向，所以多个变量同时在变。为了运算简单，就假定只有一个变量在变，其他变量固定，从而直接降低成一元变量，只对一个变量求导，从而就是偏导数。

定义：设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，若极限$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记为$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$，$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$，$z^{\prime }{|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}$或$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$。

$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$。

$f_y^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}$。

定义：若函数$z=f(x,y)$在区域$D$内的偏导数$f_x^{\prime }(x,y)$、$f_y^{\prime }(x,y)$仍具有偏导数，则其偏导数为函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数。按照求导次序不同，有如下四个二阶偏导数。

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=f_{xx}^{\prime \prime }(x,y)$，$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=f_{yy}^{\prime \prime }(x,y)$，

$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)$，$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$。

其中$f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)$和$f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$为混合偏导数。二阶以及以上的偏导数均为高阶偏导数。

💻 计算机专业视角

偏导数 = 多元函数对单个变量的敏感度，神经网络靠它学习。 把其他变量当常数、只对一个变量求导，得到的偏导数衡量「单独微调这个输入，输出会变多少」。深度学习里损失函数有几百万个参数，训练就是算损失对每个参数的偏导（梯度的分量），再据此更新——反向传播本质就是高效地批量求偏导。把所有一阶偏导排成矩阵就是雅可比矩阵（Jacobian）。

🌱 大一新生提示

一句话：偏导数就是「只让一个变量动、其他都摁住」时的导数。 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 时，把 $y$ 完全当成常数，就退化成熟悉的一元求导。所以多元求导没有新方法，只是「轮流盯着一个变量」。二阶偏导里 $f_{xy}^{\prime \prime }$ 表示先对 $x$ 再对 $y$ 求；当偏导连续时，求导先后顺序不影响结果（$f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }$）。

全微分

定义：若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$可表示为$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，$AB$不依赖$\Delta x$，$\Delta y$而仅与$x,y$相关，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微，而称$A\Delta x+B\Delta y$为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分，记为$\text{d}z$。

$\text{d}z=A\Delta x+B\Delta y=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y=\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y$。

💻 计算机专业视角

全微分 = 用「切平面」做局部线性近似，误差分析的基础。 $\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$ 说明：在一个点附近，复杂的曲面可以用平面来近似。工程上的「误差传播」就靠它——各输入的测量误差 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 乘以对应偏导再相加，估计输出误差；这也是数值计算里一阶 Taylor 展开、敏感度分析的核心。

🌱 大一新生提示

一句话：全微分就是把「各方向的微小变化」线性地加起来估计总变化。 当 $x$ 变一点、$y$ 也变一点时，$z$ 的总变化约等于「$x$ 方向的偏导 $\times \mathrm{d}x$」加「$y$ 方向的偏导 $\times \mathrm{d}y$」。注意：偏导都存在不等于可微，必须验证那个余项极限趋于 0 才算真正可微——这是多元微分里最容易踩的坑。

判断可微的步骤：

1. 写出全增量$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$。
2. 写出线性增量$A\Delta x+B\Delta y$，$A=f_x^{\prime }(x_0,y_0)$，$B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$。
3. 写出极限$\underset{\begin{array}{c}\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$，若极限等于0，则$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微，否则不可微。

偏导数连续性

对$z=f(x,y)$，讨论其在某特殊点$(x_0,y_0)$处偏导数是否连续的步骤：

1. 用定义法求$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$，$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$。（求某点偏导数）
2. 用公式法求$f_x^{\prime }(x,y)$，$f_y^{\prime }(x,y)$。（求偏导函数）
3. 计算$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_x^{\prime }(x,y)$，$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_y^{\prime }(x,y)$。（偏导函数求极限）
4. 若$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_x^{\prime }(x,y)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)$，$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_y^{\prime }(x,y)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$若成立则连续，否则不连续。

例题：设$z=f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$，则四个结论中正确的个数为()。

①$f(x,y)$在$(0,0)$处连续。 ②$f_x^{\prime }(0,0)$，$f_y^{\prime }(0,0)$存在。

③$f_x^{\prime }(x,y)$，$f_y^{\prime }(x,y)$在$(0,0)$处连续。 ③$f(x,y)$在$(0,0)$可微。

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

解：$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }(x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=0=f(0,0)$。所以$A$正确。

$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(\Delta x{)}^2\sin \frac{1}{\sqrt{(\Delta x{)}^2}}-0}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(\Delta x)\sin \frac{1}{|\Delta x|}=0$。同理$f_y^{\prime }(0,0)=0$。

判断连续性，首先计算偏导数值，之前计算过：$f_x^{\prime }(0,0)=f_y^{\prime }(0,0)=0$；然后求偏导函数$f_x^{\prime }(x,y)=2x\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x^2+y^2)\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{2x}{\sqrt{(x^2+y^2{)}^3}}=2x\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$，同理得$f_y^{\prime }(x,y)=2y\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$；最后一步查看偏导函数值与偏导数值是否相等，$\because \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }2x\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$，且$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$震荡，所以总的来说极限值不存在，就不会等于偏导数值，同理可得函数的偏导数在该点不连续。

要求一个函数在某点可微，首先$\Delta z=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0)=[(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2]\sin \frac{1}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$。然后$A\Delta x+B\Delta y=f_x^{\prime }(0,0)\Delta x+f_y^{\prime }(0,0)\Delta y=0$。最后求极限$\underset{\begin{array}{c}\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=\underset{\begin{array}{c}\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0\end{array}}{\lim }\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\sin \frac{1}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$，所以在此点可微。

综上正确的结论有①②④三个，所以选$C$。

多元函数微分法则

链式求导法则

主要对显函数的微分。

多元函数链式求导法则与一元函数的求导法则类似。都是从因变量从中间变量走到自变量。一条路径是一个加项，多少条从因变量到所有自变量的路就有多少个加项。每条路上由不同的路段组成，若有$n$层中间变量，则有$n+1$路段，路段之间项是乘积形式，若变量只与一个变量有一条路，则是导数$\text{d}$，若一个变量到多个变量有多条路，则是偏导数$\partial$。

因变量$z$到$x$一共有两条路，所以两个和项。每条路都有两端，所以和项中有两个乘项。$z$到$uv$两个中间变量，所以是两个偏导$\frac{\partial z}{\partial u}$和$\frac{\partial z}{\partial v}$。$uv$都只有一条路直接连通$x$，所以都是导数$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$和$\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$。一条路的每个路段的项相乘：$\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$和$\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$。最后将每条路段相加：$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$。

因为因变量$z$到自变量$x,y$有较多条路径，所以分开分析。

对于$x$，有$z-u-x$，所以这条路为$\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$，还有一条$z-v-x$，由于$v$只与$x$连通，所以是导数，该路为$\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$，所以$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$。、

同理对于$y$，有$z-u-y$和$z-w-y$，且$u$有两条出路，$w$只有一条，所以$u$偏导，$v$导数，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\text{d}w}{\text{d}y}$。

无论$z$对谁求导也无论求了几阶到，求导过后的新函数仍具有与原函数完全相同的复合结构。

💻 计算机专业视角

多元链式法则 = 反向传播（backpropagation）的数学本体。 「沿每条路径连乘、对所有路径求和」正是神经网络求梯度的规则：一个深层网络就是函数套函数的复合，损失对前层参数的梯度，等于沿计算图所有路径把偏导连乘再相加。PyTorch、TensorFlow 的 autograd 就是把这条链式法则在计算图上自动、高效地执行（反向模式自动微分）。

🌱 大一新生提示

一句话：复合函数求导就是「画出变量依赖图，每条路连乘、多条路相加」。 因变量到某个自变量有几条路径，结果就有几个加项；每条路径上把沿途的（偏）导数乘起来。只与一个变量相连用导数 $\mathrm{d}$，与多个相连用偏导 $\partial$。把依赖关系画成树或图，照着「连乘 + 相加」抄就不会漏项。

例题：设$z=f(e^x\sin y,x^2+y^2)$，其中$f$具有二阶连续偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

解：$\because \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$，$\therefore \frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot e^x\sin y+f_2^{\prime }\cdot 2x$。

在求偏导时，将第一个中间变量记为$f_1$即之前的$u$，第二个中间变量记为$f_2$即之前的$v$。记$f$对$u$求偏导为$f_1^{\prime }$，对$v$求偏导为$f_2^{\prime }$同理二阶导也如此，下标为求导顺序。

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial (f_1^{\prime }\cdot e^x\sin y)}{\partial y}+\frac{\partial (f_2^{\prime }\cdot 2x)}{\partial y}$。

其中$\frac{\partial (f_1^{\prime }\cdot e^x\sin y)}{\partial y}=\frac{\partial f_1^{\prime }}{\partial y}\cdot e^x\sin y+f_1^{\prime }\cdot e^x\cos y$。所以难点就是$\frac{\partial f_1^{\prime }}{\partial y}$。

求导路径$f_1^{\prime }-1-y$和$f_1^{\prime }-2-y$：$=(f_{11}^{\prime \prime }{e}^x\cos y+f_{12}^{\prime \prime }2y)\cdot e^x\sin y+f_1^{\prime }\cdot e^x\cos y$。

其中$\frac{\partial (f_2^{\prime }\cdot 2x)}{\partial y}=2x\frac{\partial f_2^{\prime }}{\partial y}$，求导路径$f_2^{\prime }-1-y$和$f_2^{\prime }-2-y$：$=2x(f_{21}^{\prime \prime }\cdot e^x\cos y+f_{22}^{\prime \prime }\cdot 2y)$。

$\therefore \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=(f_{11}^{\prime \prime }{e}^x\cos y+f_{12}^{\prime \prime }2y)\cdot e^x\sin y+f_1^{\prime }\cdot e^x\cos y+2x(f_{21}^{\prime \prime }\cdot e^x\cos y+f_{22}^{\prime \prime }\cdot 2y)$。

若$f$具有二阶连续偏导数，所以可以交换求导顺序，$f_{12}^{\prime \prime }=f_{21}^{\prime \prime }$。

化简：$=f_1^{\prime }{e}^x\cos y+f_{11}^{\prime \prime }{e}^{2x}\sin y\cos y+2e^x{f}_{12}^{\prime \prime }(y\sin y+x\cos y)+4f_{22}^{\prime \prime }xy$。

隐函数存在定理

主要对隐函数的微分。隐函数的最大问题就是变量纠缠在一起，而公式法所得到的式子中变量都是独立的。

若对每个$x\in D$对应的函数值$y$总是唯一的，这样定义的函数为单值函数。若给定一个对应法则，按法则对$x$总有$y$与之对应，但是$y$不唯一，此时就不是函数，而确定一个多值函数。

只要满足着定义域的条件下，形如$y=f(x)$的函数就是显函数，如$y=\sin x$。由方程$F(x,y)=0$确定的函数为隐函数，如$x+y^3-1=0$显式表示为$y=\sqrt[3]{1-x}$。

定义：设函数$F(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$的某一邻域内具有连续偏导数，$F(x_0,y_0)=0$，$F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，则方程$F(x,y)=0$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数$y=f(x)$，满足$y_0=f(x_0)$。

定义：二元隐函数求导公式：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$。

因为$y=y(x)$，所以对$F(x,y)$进行求导：$F_x^{\prime }\cdot 1+F_y^{\prime }\cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=0$，就解出隐函数求导公式，$F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$是定理关键。

💻 计算机专业视角

隐函数求导 = 处理「解不出来的方程」，机器人和优化里很常见。 很多约束写成 $F(x,y)=0$ 却没法显式解出 $y$，这时用 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$ 直接求导。机器人逆运动学、隐式曲面（等值面）渲染、以及优化里的「隐函数定理」（用它分析最优解随参数如何变化、做灵敏度分析），用的都是这套思想。

🌱 大一新生提示

一句话：解不出 $y=\cdots$ 时，就把 $y$ 看成 $x$ 的函数，整体求导再解出 $y^{\prime }$。 对 $F(x,y)=0$ 两边关于 $x$ 求导，记得 $y$ 是 $x$ 的函数要带链式法则，整理就得到 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$。前提是分母 $F_y^{\prime }\ne 0$（几何上即该点切线不竖直），否则公式失效。

如给出一个圆的方程$F(x,y)=x^2+y^2-1=0$，$F_x^{\prime }=2x$，$F_y^{\prime }=2y$，$F(0,1)=0$，$F_y^{\prime }(0,1)=2\ne 0$。所以在$(0,1)$和$(0,-1)$是单值的，从而能确定一个连续导数的隐函数，而在$(\pm 1,0)$的邻域内不存在，因为其切线是竖直的。

定义：设函数$F(x,y,z)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内具有连续偏导数，$F(x_0,y_0,z_0)=0$，$F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$，则方程$F(x,y,z)=0$在点$(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数$z=f(x,y)$，满足$z_0=f(x_0,y_0)$。

定义：三元隐函数求导公式：$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$。

因为$x$是$x$的函数，$y$是$y$的函数，$z$是$xy$的函数。所以$F_x^{\prime }\cdot 1+F_z^{\prime }\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0$，解得$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$。同理$F_y^{\prime }\cdot 1+F_z^{\prime }\cdot \frac{\partial z}{\partial y}$也可得。

例题：设$z=f(x,y)$是由方程$z-y-x+x{e}^{z-y-x}=0$所确定的二元函数，求$\text{d}z$。

解：$\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y$。其中$F_x^{\prime }=-1+e^{z-y-x}-x{e}^{z-y-x}$，$F_y^{\prime }=-1-x{e}^{z-y-z}$，$F_z^{\prime }=1+x{e}^{z-y-x}$。

直接代入：$\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}=\frac{1+(x-1)e^{z-y-x}}{1+x{e}^{z-y-x}}+1$。

例题：已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\text{d}z=2x\text{d}x+\sin y\text{d}y$且$f(1,0)=2$，求$f(x,y)$。

解：$\because \text{d}z=2x\text{d}x+\sin y\text{d}y$，$\therefore \frac{\partial z}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\sin y$。

对偏导进行积分：$f(x,y)=x^2+\phi (y)$，$\frac{\partial (x^2+\phi (y))}{\partial y}={\phi }^{\prime }(y)=\sin y$。

又$\phi (y)=-\cos y+C$，$f(x,y)=x^2-\cos y+C$，代入$f(1,0)=2$。

$C=2$，$f(x,y)=x^2-\cos y+2$。

多元函数极值最值

概念

定义：若存在$(x_0,y_0)$的某个邻域，使得在该邻域内的任意一点$(x,y)$均有$f(x,y)⩽f(x_0,y_0)$或$f(x,y)⩾f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的广义的极大值点/极小值点，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的广义的极大值/极小值。

定义：若存在$(x_0,y_0)$的某个去心邻域，使得在该邻域内的任意一点$(x,y)$均有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$或$f(x,y)>f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的真正的极大值点/极小值点，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的真正的极大值/极小值。

定义：设$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$定义域内一点，若对于$f(x,y)$的定义域内任意一点$(x,y)$均有$f(x,y)⩽f(x_0,y_0)$或$f(x,y)⩾f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的广义的最大值点/最小值点，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的广义的最大值/最小值。

定义：设$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$定义域内一点，若对于$f(x,y)$的定义域内任意一个异于$(x_0,y_0)$的点$(x,y)$均有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$或$f(x,y)>f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的真正的最大值点/最小值点，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的真正的最大值/最小值。

定义：函数的一阶导数为0的点（驻点也称为稳定点，临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。

极值点不一定是驻点：只有可导的极值点才可能是驻点；驻点也不一定是极值点：只有驻点两端变号才能成为极值点。

💻 计算机专业视角

驻点 = 优化算法要找的「梯度为零」的点，但不一定是想要的最优。 训练模型时，梯度下降停在梯度为零处——可能是极小值，也可能是极大值或鞍点。高维损失函数里鞍点（某些方向上升、某些方向下降）极多，是优化的主要障碍；动量法、Adam 等优化器很大程度上就是为了逃离鞍点、加速穿过平坦区。

🌱 大一新生提示

一句话：驻点是「所有偏导都为零」的点，但它未必是极值点。 一元里导数为零可能是极值也可能是拐点；多元里梯度为零可能是极大、极小，或者「鞍点」（像马鞍，一个方向是谷、另一个方向是峰）。所以找到驻点只是第一步，还要用充分条件（下面的 $\Delta =B^2-AC$）进一步判定它到底是哪一种。

定理：若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处取得极大/极小值，则$f(x,y_0)$在$x=x_0$取得极大/极小值，$f(x_0,y)$在$y=y_0$取得极大/极小值。

无条件极值

定理：二元函数取极值的必要条件：设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$一阶偏导数存在且取极值，则$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0$，$f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。三元及以上可以类推。

定理：二元函数取极值的充分条件：若对函数求二阶偏导$\{\begin{array}{l}{f}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=A\\ f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=B\\ f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=C\end{array}$，则$\Delta =B^2-AC=\{\begin{array}{l}<0\Rightarrow \text{极值}\{\begin{array}{l}A<0\Rightarrow \text{极大值}\\ A>0\Rightarrow \text{极小值}\end{array}\\ >0\Rightarrow \text{非极值}\\ =0\Rightarrow \text{方法失效，使用定义法}\end{array}$。只适用于二元函数极值。

💻 计算机专业视角

$B^2-AC$ 判别法 = 二阶导数矩阵（Hessian）的「正定性判断」。 这里的 $A,B,C$ 正是二阶偏导排成的 Hessian 矩阵的元素，$AC-B^2$ 就是它的行列式。判别法的本质是看 Hessian 是否正定/负定——这正是数值优化里牛顿法、判断收敛点是不是极小值的依据。高维时则推广为「Hessian 的所有特征值同号」。

🌱 大一新生提示

一句话：求出二阶偏导 $A,B,C$，用 $\Delta =B^2-AC$ 的正负判断驻点类型。 $\Delta <0$ 是极值（再看 $A$：$A>0$ 极小、$A<0$ 极大）；$\Delta >0$ 不是极值（是鞍点）；$\Delta =0$ 判别法失效，得回到定义、或沿不同路径试探。注意这套口诀只对二元函数适用。

显函数

可以先直接求出$f_{xx}^{\prime \prime }$、$f_{xy}^{\prime \prime }$、$f_{yy}^{\prime \prime }$，再令一阶偏导为0求出点，把点代入。

例题：求函数$f(x,y)=x^4+y^4-(x+y{)}^2$的极值。

解：$f_x^{\prime }=4x^3-2(x+y)=0$，$f_y^{\prime }=4y^3-2(x+y)=0$，解得$x=y=-1,0,1$。

$f_{xx}^{\prime \prime }=12x^2-2$，$f_{xy}^{\prime \prime }=-2$，$f_{yy}^{\prime \prime }=12y^2-2$。各自代入：

$P_1:A_1=10,B_1=-2,C_1=10,\Delta =B_1^2-A_1{C}_1=-96<0,A_1>0$，极小。

同理$P3$也是极小值点。极小值为-2。

$P2:A_2=-2,B_2=-2,C_2=-2,{\Delta }_2=B_2^2-A_2{C}_2=0$。该方法失效。

取$y=x$的路径，$f(x,y)=f(x,x)=2x^4-4x^2=2x^2(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})<0$。

取$y=-x$的路径，$f(x,y)=f(x,-x)=2x^4>0$。而$f(0,0)=0$。

所以不同的路径上有大于该值的也有小于该值的，所以该点不为极值点。

隐函数

由于无法$f_{xx}^{\prime \prime }$、$f_{xy}^{\prime \prime }$、$f_{yy}^{\prime \prime }$，所以先令一阶偏导为0求出可疑点，把点代入，并代入$f_x^{\prime }=0$、$f_y^{\prime }=0$、$f_z^{\prime }=0$。

条件极值与拉格朗日乘数法

求目标函数$u=f(x,y,z)$在一组条件函数${\phi }_1(x,y,z)=0,{\phi }_2(x,y,z)=0,\cdots ,{\phi }_n(x,y,z)=0$下的最值，则：

1. 构造辅助函数带${\lambda }_i$：$F(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)=f(x,y,z)+{\lambda }_1{\phi }_1(x,y,z)+{\lambda }_2{\phi }_2(x,y,z)+{\lambda }_n{\phi }_n(x,y,z)$，其中${\lambda }_i{\phi }_i$为拉格朗日乘数。
2. 对函数依次对$x,y,z,{\lambda }_i$求偏导并令为0：$F_x^{\prime }=f_x^{\prime }+{\lambda }_1{\phi }_{1x}^{\prime }+{\lambda }_2{\phi }_{2x}^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n{\phi }_{nx}^{\prime }=0$，$F_y^{\prime }=f_y^{\prime }+{\lambda }_1{\phi }_{1y}^{\prime }+{\lambda }_2{\phi }_{2y}^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n{\phi }_{ny}^{\prime }=0$，$F_z^{\prime }=f_z^{\prime }+{\lambda }_1{\phi }_{1z}^{\prime }+{\lambda }_2{\phi }_{2z}^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n{\phi }_{nz}^{\prime }=0$，$F_{{\lambda }_i}^{\prime }={\phi }_i(x,y,z)=0$。一共$3+n$个方程。
3. 解上述方程组得备选点$P_i$，$i=1,2,\cdots ,n$，并求$f(P_i)$并取其最大值$m_{\max }$和最小值$u_{\min }$。

例题：求函数$u=xyz$在约束条件$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}$（$x>0,y>0,z>0,a>0$）下的最小值。

解：令$F(x,y,z,\lambda )=xyz+\lambda \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{a}\right)$。

令$F_x^{\prime }=yz+-\frac{\lambda }{x^2}=0$，$F_y^{\prime }=xz+-\frac{\lambda }{y^2}=0$，$F_z^{\prime }=xy+-\frac{\lambda }{z^2}=0$，$F_{\lambda }^{\prime }=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{a}=0$。

解得$x=y=z=3a$，从而最小值为$u_{\min }=27a^3$。

💻 计算机专业视角

拉格朗日乘数法 = 带约束优化的通用武器，SVM 和正则化都用它。 求「在约束 $\phi =0$ 下的极值」时，构造 $F=f+\lambda \phi$ 再令各偏导为零。机器学习里支持向量机（SVM）的对偶问题、带等式约束的最优化、乃至正则化的拉格朗日对偶视角，全靠它；乘子 $\lambda$ 还有「约束每放松一点、目标能改善多少」的经济学含义（影子价格）。

🌱 大一新生提示

一句话：有约束的极值，就把约束乘上一个新变量 $\lambda$ 加进目标里，再当无约束问题求驻点。 构造 $F=f+\lambda \phi$，然后对所有变量（包括 $\lambda$）求偏导并令为零，解这个方程组得到候选点，最后比较函数值挑出最大/最小。对 $\lambda$ 求偏导得到的那个方程，其实就是把原约束又写了一遍。