随机事件与概率

排列组合

排列公式：$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$。

组合公式：$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$。

捆绑法

要求某些元素必须在一起。

例题：$ABCDEF$六个人排队，要求$AB$必须在一起，问有多少种排法。

解：排法就是排列的问题。首先$AB$在一起，要么是$AB$要么是$BA$，也是一种排列，有$A_2^2$种。

然后将$AB$看作一个整体与$CDEF$进行排列，一共五个元素，进行全排列：$A_5^5$。

因为是按步骤来的，所以使用乘法：$A_2^2\cdot A_5^5=120$。

插空法

要求某些元素不能相邻。

例题：要对6个唱歌和4个舞蹈节目进行排列，要求两个舞蹈节目不能相邻，求多少种排法。

解：由于是对舞蹈进行限制，所以对唱歌的序列没有特别的限制，第一步先对唱歌进行全排列$A_6^6$。

第二步对舞蹈进行排列，由于舞蹈之间不能相邻，所以舞蹈节目必然是在两个唱歌节目之间进行插孔排序的，而唱歌6个节目一共7个空，所以排列$A_7^4$。

由于是步骤，所以乘法：$A_6^6\cdot A_7^4$。

插板法

与插空法类似，但是是组合进行归类，而不是排序。

例题：将8个完全相同的球放入三个不同的盒子，要求每个盒子至少有一个球，求一共有多少种放法。

解：相当于在七个空插入两个板。即$C_7^2=21$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：捆绑法（必须相邻）就是把要黏在一起的元素打包成「一个」，先内部排再整体排；插空法（不能相邻）反过来，先排好其他元素再把它们塞进空隙里；插板法用在「相同的球分到不同的盒子」这类组合归类问题。判断用哪招，关键看限制是「相邻」还是「不相邻」、是「排序」还是「分组」。

💻 计算机专业视角

引导句：排列组合是组合计数（combinatorics）的基础，直接对应算法里「方案总数」的估算。捆绑/插空本质是约束条件下的计数，与回溯搜索的剪枝、状态空间规模分析同源；插板法（stars and bars）则是经典的「把 $n$ 个相同物体分到 $k$ 个箱子」模型，在动态规划的整数拆分、概率分布的多项式系数中反复出现。

随机事件概率

是基本事件关系的概率运算。

例题：已知事件$A$和$B$相互独立，$P(A)=a$，$P(B)=b$，如果事件$C$必然导致$AB$同时发生，则求$ABC$都不发生的概率。

解：首先必须理解题目的意思，并将其抽象为具体的计算式子。

$ABC$都不发生就是$A$不发生且$B$不发生且$C$不发生，用式子表达就是$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$。

然后是分析事件$C$必然导致$AB$同时发生，$AB$同时发生就是$AB$，即$AB$比$C$的范围大，$C\subset AB$，$\overline{AB}\subset \overline{C}$，$\therefore \overline{ABC}=\overline{AB}\cap \overline{C}=\overline{AB}$。

又事件$AB$相互独立。$P(\overline{AB})=P(\overline{A})P(\overline{B})=(1-a)(1-b)$。

古典概型

定义法

随机分配

将$n$个质点分配倒$N$个容器中：

独立性

例题：射手对同一目标独立地进行4次射击。若至少命中一次的概率为$\frac{15}{16}$，则求该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率。

解：这个题目其实就是四重伯努利试验，彼此之间的概率都是独立的。令每一次命中的概率为$p$，则该次未命中的概率为$1-p$。

若至少命中一次的概率为$\frac{15}{16}$，则其对立事件全部不命中的概率为$1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$，则$(1-p{)}^4=\frac{1}{16}$，则得到每次命中概率$p=\frac{1}{2}$。

求该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率，则其对立事件为每次命中，其概率为${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$，则至少没命中一次的概率为$1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：遇到「至少……」先想对立事件——「至少命中一次」的反面是「一次都没中」，后者只有一种情况、算起来简单，用 $1-P(\text{都没中})$ 一步到位。多次独立射击的命中与否就是「$n$ 重伯努利试验」，每次成功概率相同且互不影响，整体概率把各次相乘即可。

💻 计算机专业视角

引导句：$n$ 重伯努利试验是二项分布的来源，也是机器学习里建模「二分类、重复独立试验」的基石：抛硬币、点击/不点击、请求成功/失败都套这个框架。「至少一次」的对立事件技巧，正对应可靠性工程里「系统至少一个组件存活」的并联可用度计算 $1-\prod (1-p_i)$，是分布式系统容错分析的常用估算。