微分方程

一阶微分方程

可分离变量微分方程

交叉积分法

例题：求$y\sin \frac{x}{2}\text{d}x-\cos \frac{x}{2}\text{d}y=0$的通解。

解：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=y\tan \frac{x}{2}$，$\frac{\text{d}y}{y}=\tan \frac{x}{2}\text{d}x$，$\int \frac{\text{d}y}{y}=2\int \tan \frac{x}{2}\text{d}\frac{x}{2}$。

解得$\ln |y|=-\ln {\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^2+\ln C_1$（取对数更好解），$|y|=\frac{C_1}{{\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^2}$。

$y=\frac{\pm C_1}{{\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^2}$，令$C=\pm C_1$，得$y=\frac{C}{1+\cos x}$。

注意在第一步时将$y$除到分母上，本来$y$为任意常数，变为$y\ne 0$，所以解得最后$C\ne 0$，而实际上$y$可以为0，所以$C$应该为任意常数。

此时解为全部解，为通解加上$y=0$的奇解。

🌱 大一新生提示

一句话提示：可分离变量方程的套路就是「把 $y$ 和 $\text{d}y$ 挪到一边、$x$ 和 $\text{d}x$ 挪到另一边」再两边积分。要警惕：把 $y$ 除到分母时默认了 $y\ne 0$，最后要单独检查 $y=0$ 是不是也是解（即奇解），别漏掉。

💻 计算机专业视角

引导句：微分方程是连续系统的数学语言。可分离变量方程对应最简单的一类动力系统，数值上用欧拉法/龙格-库塔法离散求解（$y_{n+1}=y_n+hf$），是物理仿真、强化学习环境建模、神经常微分方程（Neural ODE）的底层工具。

多项式换元法

$x$和$y$是以和差作为一个整体形式。

例题：求微分方程$\text{d}y=\sin (x+y+100)\text{d}x$的通解。

解：令$u=x+y+100$，$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=1+\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\sin (x+y+100)$，$\therefore \frac{\text{d}u}{\text{d}x}=1+\sin u$。

$\frac{\text{d}u}{1+\sin u}=\text{d}x$，$\int \frac{\text{d}u}{1+\sin u}=\int \text{d}x$，$\int \frac{1-\sin u}{{\cos }^{2}u}\text{d}u=x$。

$\int {\sec }^{2}u-\tan u\sec u\text{d}u=x$，即$\tan u-\sec u=x+C$。代回$u=x+y+100$：

通解$\tan (x+y+100)-\sec (x+y+100)=x+C$。

所有解：$\tan (x+y+100)-\sec (x+y+100)=x+C$，$x+y+100=2k\pi -\frac{\pi }{2}$。

一阶线性方程

形如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)$。

可以直接求也可以使用公式求。

交叉积分法

例题：设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)$（$x>0$）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$\left(\frac{1}{2},0\right)$，求$L$的方程。

解：$(x,y)$到坐标原点的距离为$\sqrt{x^2+y^2}$。

若$y=y(x)$，则切线为$Y-y=y^{\prime }(X-x)$，令$X=0$，解得$Y=y-x{y}^{\prime }$。

$\therefore \sqrt{x^2+y^2}=y-x{y}^{\prime }$，解得$y^{\prime }=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\frac{y}{x}-\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}$。

令$\frac{y}{x}=u$，则$y=ux$，$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}u}{\text{d}x}x+u$。代入$y^{\prime }$：

$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}x+u=u-\sqrt{1+u^2}$，$\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=-\frac{\text{d}x}{x}$，$\int \frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=-\int \frac{\text{d}x}{x}$。

$\therefore \ln (u+\sqrt{1+u^2})=-\ln x+\ln C$，$u+\sqrt{1+u^2}=\frac{C}{x}$。

代入$\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=\frac{C}{x}$，$y+\sqrt{x^2+y^2}=C$。

公式法

即使用非齐次和非齐次的一阶线性微分方程公式。

换元法

如果存在$f(y)$，$y$无法提出，则使用换元法。典型的就是$e^y$。

例题：求微分方程$y^{\prime }+1=e^{-y}\sin x$的通解。

解：已知对$e^{-y}\sin x$无法处理，所以必然需要对其转换，$e^y{y}^{\prime }+e^y=\sin x$。

$\therefore (e^y{)}^{\prime }+e^y=\sin x$，令$e^y=u$，$u^{\prime }+u=\sin x$，$P(x)=1$，$Q(x)=\sin x$。

$e^y=u=e^{-\int \text{d}x}(\int e^{\int \text{d}x}\sin x\text{d}x+C)=e^{-x}(\int e^x\sin x\text{d}x+C)$，积分再现表格解出$\int e^x\sin x\text{d}x$：$=e^{-x}\left(\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C\right)$。

例题：求$y^{\prime }=\frac{y^2-x}{2y(x+1)}$的通解。

解：这个式子首先分子分母等长，$xy$都合在一起，所以很难去分离出基本的微分方程。基本的微分方程式子为$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$，对比可以看出里面$y^2$是不能化简的，所以很容易想到把这个当作一个整体。

$2y^{\prime }y=\frac{y^2-x}{x+1}$，此时出现了$y^2$和$y^2$的导数，令$y^2=u$，$u^{\prime }=\frac{u-x}{x+1}$。

即$u^{\prime }-\frac{y}{x+1}=\frac{1}{x+1}-1$，此时就化为了一般非齐次方程。

根据公式算出$y=C(x+1)-(x+1)\ln |x+1|-1$。

交换微分变量

当出现$y^{\prime }=\frac{f(x)}{g(x)}$，$g(x)$多项式的次数远高于$f(x)$，此时就没办法分离变量了，可以用$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}$颠倒求导顺序。

例题：求$y^{\prime }=\frac{y}{x+(y+1{)}^2}$的通解。（$y$不为常函数）

解：由于$y^{\prime }$对应的式子分母较复杂，而分子较简单，所以上下颠倒：

$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{x+(y+1{)}^2}{y}=\frac{x}{y}+y+\frac{1}{y}+2$。$x^{\prime }-\frac{1}{y}x=y+\frac{1}{y}+2$。

根据公式：$x=e^{\int \frac{1}{y}\text{d}y}\left[\int \left(y+\frac{1}{y}+2\right)e^{\int -\frac{1}{y}\text{d}y}\text{d}y+C\right]=y^2+2\ln |y|y-1+Cy$。

伯努利方程

形如$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$。

例题：求$y\text{d}x=(1+x\ln y)x\text{d}y$（$y>0$）的通解。

解：将导数放到一边：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y}{(1+x\ln y)x}$，这个算式无法处理。

而颠倒$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{(1+x\ln y)x}{y}=\frac{1}{y}x+\frac{\ln y}{y}{x}^2$。

凑伯努利方程：$x^{\prime }+P(x)x=Q(x)x^n$：$x^{\prime }-\frac{1}{y}x=\frac{\ln y}{y}{x}^2$。$P(x)=-\frac{1}{y}$，$Q(x)=\frac{\ln y}{y}$。

乘$x^{-2}$降阶：$x^{-2}{x}^{\prime }-\frac{1}{y}{x}^{-1}=\frac{\ln y}{y}$。令$z=x^{-1}$，$\frac{\text{d}z}{\text{d}y}=-\frac{1}{x^2}\frac{\text{d}x}{\text{d}y}$。代入方程：

$-\frac{\text{d}z}{\text{d}y}-\frac{1}{y}z=\frac{\ln y}{y}$，$\frac{\text{d}z}{\text{d}y}+\frac{1}{y}z=-\frac{\ln y}{y}$，利用公式：

$z=e^{-\int \frac{1}{y}\text{d}y}\left(\int e^{\int \frac{1}{y}\text{d}y}\cdot \left(-\frac{\ln y}{y}\right)+C\right)=\frac{1}{y}(-\int \ln y\text{d}y+C)=\frac{1}{y}(-y(\ln y-1)+C)=-\ln y+1+\frac{C}{y}$。

$\therefore x=\frac{y}{-y\ln y+y+C}$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：伯努利方程 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$ 的标志是右边带 $y^n$。处理办法：两边同除 $y^n$，令 $z=y^{1-n}$ 换元，就化成了一阶线性方程用公式法解。本题还叠加了「分子分母互换」（把 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 倒成 $\frac{\text{d}x}{\text{d}y}$）的技巧。

💻 计算机专业视角

引导句：换元把非线性方程「线性化」是科学计算的常见思想：通过变量代换将难解的非线性问题转成有闭式解或更易数值求解的线性问题，类似机器学习里用特征变换（核技巧、对数变换）把非线性可分问题映射到线性可分空间。

二阶可降阶微分方程

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型

例题：求$y^{\prime \prime }=\frac{2x{y}^{\prime }}{1+x^2}$的通解。

解：令$y^{\prime }=p$，$p^{\prime }=\frac{2xp}{1+x^2}$，$\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{2xp}{1+x^2}$，$\frac{\text{d}p}{p}=\frac{2x}{1+x^2}$，$\int \frac{\text{d}p}{p}=\int \frac{2x}{1+x^2}$。

$\ln |p|=\ln (1+x^2)+\ln C_1$，$p=\pm C_1(1+x^2)=C_2(1+x^2)$。

$y^{\prime }=C(1+x^2)$，$\therefore y=C_2\left(x+\frac{x^3}{3}+x\right)+C$。

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ 型

高阶线性微分方程

二阶微分方程通解

先将常系数非齐次线性微分方程变为常系数齐次线性微分方程求解，然后加上非齐次方程的一个特解，就是非齐次方程的一个通解。

特解只能拆为和的形式而不能拆为乘商的形式，如$Q(x)={\sin }^{2}x$，则应该拆为$\frac{1-\cos 2x}{2}$。

例题：求$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=3x{e}^{2x}$的通解。

解：变为常系数齐次线性微分方程：$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y$。

写出特征方程：${\lambda }^2-4\lambda +4=0$，从而$(\lambda -2{)}^2=0$，${\lambda }_1={\lambda }_2=2$。

从而$y$齐次方程的通解为$(C_1+C_{2}x)e^{2x}$。

根据特解的设置方法，所以$k=2$，设$y^{\ast }=e^{2x}(ax+b)x^2$。

代回二阶方程，$a=\frac{1}{2}$，$b=0$。通解为$(C_1+C_{2}x)e^{2x}+\frac{1}{2}{x}^3{e}^{2x}$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：常系数线性方程「先齐次后特解」：① 写特征方程 ${\lambda }^2-4\lambda +4=0$ 求根定齐次通解；② 根据右端 $Q(x)$ 的形式设特解。关键易错点——当 $e^{2x}$ 里的 $2$ 恰好是重根时，特解要乘 $x^k$（这里 $\lambda =2$ 是二重根，故乘 $x^2$）。

💻 计算机专业视角

引导句：特征方程的根决定了系统行为：实根对应指数增长/衰减、共轭复根对应振荡，这正是控制理论中「极点」的概念。系统稳定性（极点是否在左半平面）、RNN/状态空间模型的长程记忆能力，本质都在分析这类线性微分（差分）方程的特征根。

例题：微分方程$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=e^x\cos x+x{e}^{3x}$的通解。

解：首先常系数齐次线性微分方程：$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=0$。

特征方程为${\lambda }^2-4\lambda +3=0$，解得特征值为${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=3$。

所以该齐次方程的通解：$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}$。

然后求特解，首先求后面$f_2(x)=x{e}^{3x}$的特解$y_2^{\ast }$。

根据公式因为$\alpha$为单特征根，即$\aleph =3={\lambda }_2\ne {\lambda }_1$，所以$y_2^{\ast }=e^{3x}(ax+b)x$。

然后是求$f_1(x)=e^x\cos x$的特解$y_1^{\ast }$。

其中$P_m(x)=1$，$P_n(x)=0$，$l=0$。所以设$P_m(x)=A$，$P_n(x)=B$。

对$k$，自由项中$\alpha =\beta =1$，得到$1\pm i$。又$1\pm i\ne {\lambda }_1=1\ne {\lambda }_2=3$，$k=0$。

最后$y_1^{\ast }=e^x(A\cos x+B\sin x)$。通解为$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}+e^x(A\cos x+B\sin x)+e^{3x}(ax+b)x$。

反推微分方程

齐次微分方程

没有给出具体的解出方法，此时往往是给出特解，然后反推微分方程的形式，这时就需要根据特解求出特征方程。

例题：计算具有特解$y_1=e^{-x}$、$y_2=2x{e}^{-x}$、$y_3=3e^x$的三阶常系数齐次线性微分方程。

解：由于是三阶，且不是一般的微分方程求特解而是逆问题，就使用特征方程解。

因为有三个特解，根据解的形式，$r=-1,-1,1$，所以特征方程的形式为$(r+1{)}^2(r-1)=0$，即解出$r^3+r^2-r-1=0$，所以微分方程为$y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-y^{\prime }-y=0$。

非齐次微分方程

已知结构

如果给出一个微分方程的具体形式，而携带参数，可以直接求导然后代入微分方程。

例题：$y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+(x-\frac{1}{3})e^3$为二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$的一个特解，求对应参数。

解：直接代入法：直接求导$y^{\prime }=e^{2x}+e^x(x+\frac{2}{3})$，$y^{\prime \prime }=2e^{2x}+e^x(x+\frac{5}{3})$。

直接代入，解得$a=-3$，$b=2$，$c=-1$。

例题：$y=e^{2x}+(x+1)e^x$为二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$的一个特解，求对应参数和通解。

解：解结构法：由于是二阶非齐次方程，所以必然是两个通解加一个特解。

展开解$y=e^{2x}+x{e}^x+e^x$。

由于已知解，所以$r=1$、$r=2$，且非齐次为$c{e}^x$，所以$e^{2}x$为齐次方程的一个通解，非齐次方程的特解必然是在$x{e}^x$和$e^x$之中。

由于$r=1$，$x{e}^x$和$e^x$的幂次都是$1$，而其中一个$r=1$，根据解的结构$A{e}^{rx}{x}^k$，为单值根，所以$k=1$，所以特解必然存在$x^k$，所以$x{e}^x$为特解，$e^x$为通解。

所以特征方程为$(r-1)(r-2)=0$，对应$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$。然后直接代入求出$c$。

未知结构

例题：已知二阶非齐次线性方程具有三个特解$y_1=x-(x^2+1)$、$y_2=3e^x-(x^2+1)$、$y_3=2x-e^x-(x^2+1)$，求$y(0)=y^{\prime }(0)=0$的特解。

解：非齐次，即$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$。由于是二阶所以有两个无关的特解。

所以$y_1-y_2$，$y_1-y_3$为其齐次方程的两个通解（线性无关）。

通解为齐次方程通解加上非齐次一个特解：$y=C_1(y_1-y_2)+C_{(}{y}_1-y_3)+y_1$。

然后代入，解出$y=e^x-x^2-x-1$。

高阶微分方程通解

如果是三阶以及以上阶的微分方程，使用特征方程来解决。

由于三阶以以上的微分方程没有给出特解的形式，所以如果是高阶线性方程必然是齐次方程，直接根据特征方程得出特征值。

例题：求三阶常系数线性齐次微分方程$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$的通解。

解：得出特征方程$r^3-2r^2+r-2=0$，即$r^3-2r^2+r-2=0$，$(r-2)(r^2+1)=0$，解得$r=2$、$\pm i$，即得通解为$C_1{e}^{2x}+C_2\cos x+C_3\sin x$。

微分方程概念

对于有些方程并不需要求解后才能解决问题。

已知微分方程的解反求系数

例题：设$y_1,y_2$为一阶非齐次线性微分方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的两个特解，若常数$\lambda ,\mu$使得$\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$是该方程对应的齐次方程的解，则()。

$A.\lambda =\frac{1}{2},\mu =\frac{1}{2}$ $B.\lambda =-\frac{1}{2},\mu =-\frac{1}{2}$ $C.\frac{2}{3},\mu =\frac{1}{3}$ $\lambda =\frac{2}{3},\mu =\frac{2}{3}$

不解微分方程，利用方程隐含信息

$F(y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\cdots ,y^{(n)})=0$反映了未知函数及其各阶导数之间的关系。

例题：设$y=f(x)$是方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0$的一个解，若$f(x_0)>0$，且$f^{\prime }(x_0)=0$，则函数$f(x)$在点$x_0$()。

$A.$取得最大值 $B.$取得最小值 $C.$某个邻域内单调增加 $D.$某个邻域内单调减少

解：因为$y=f(x)$是方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0$的一个解，所以直接代入$x_0$：$y^{\prime \prime }(x_0)-2y^{\prime }(x_0)+4y(x_0)=0$。又$f^{\prime }(x_0)=0$。

$y^{\prime \prime }(x_0)=-4y(x_0)<0$，所以该点为极大值点。

欧拉方程

微分方程物理应用

牛顿第二定律

$F=ma$，物体质量$m$，力$f$，加速度$a=\frac{{\text{d}}^x}{\text{d}{t}^2}=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=v\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$。

变化率

考的可能性较大，提法多为$t$时刻某量$y$对$t$的变化率与$t$时刻某量成正比。

如冷却定律，$k$时刻物体温度$T(t)$对时间的变化率与$t$时刻物体与介质的温差$T-T_0$成正比，应写为$\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=-k(x-x_0)$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：应用题的核心是「翻译」：把「变化率」翻译成导数 $\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$，把「与某量成正比」翻译成 $=k\cdot (\text{某量})$，列出方程后再用前面的方法求解。牛顿冷却、人口增长、放射性衰变都是这个套路。

💻 计算机专业视角

引导句：「变化率正比于当前量」就是指数衰减/增长模型 $\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=ky$，在工程里无处不在：学习率指数衰减、EMA（指数滑动平均）、RC 电路充放电、贝叶斯在线更新的遗忘因子，都是这个一阶线性方程的离散化身。