导数与微分

导数概念

引例

设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。

$\tan \alpha =f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。

导数的本质是增量比的极限。

定义

设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f^{\prime }(x)$，即$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。

下面三句话等价：

1. $y=f(x)$在$x_0$处可导。
2. $y=f(x)$在$x_0$处导数存在。
3. $f^{\prime }(x)=A$。（$A$为有限数）

单侧导数分为左导数和右导数。

$f_{-}^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

$f_{+}^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。

若$f(x)$在$x_0$的左右，如$y=|x|$在$0$的左右出现了单侧的不同的切线，那这个$x_0$就是一个角点，该角点处不可导。

若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，通常被认为是不存在的。

💻 计算机专业视角

导数 = 自动微分(autodiff)要算的那个东西。 PyTorch / TensorFlow 里一句 loss.backward() 求的就是各参数的导数 $\frac{\partial L}{\partial w}$，整套模型训练全靠它。定义式 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 直接对应数值微分里的前向差分 (f(x+h)-f(x))/h：取一个很小的 $h$ 来近似导数。但 $h$ 取太大不准、取太小又被浮点舍入吞掉，所以实践中宁可用自动微分（精确）或中心差分 (f(x+h)-f(x-h))/(2h)（误差更小）。「左导数 $=$ 右导数才可导」也对应工程直觉：分段定义的函数要在接缝处左右斜率一致才算光滑。

🌱 大一新生提示

一句话：导数就是「这一瞬间变化有多快」，几何上是切线的斜率。 把 $\Delta x$ 想成自变量走了一小步，$\Delta y$ 是对应的变化量，二者之比是「平均变化率」；让这一步无限缩短（$\Delta x\to 0$），平均变化率就变成「瞬时变化率」，这就是导数。要可导，必须从左边逼近和从右边逼近得到同一个斜率——像 $y=|x|$ 在 $0$ 处左斜率 $-1$、右斜率 $+1$ 对不上，那个尖角（角点）就不可导。

定理：若$f(x)$为可导的偶函数，则$f^{\prime }(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f^{\prime }(x)$为偶函数。

该证明是准备部分的定理。

证明：首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$。

$\therefore$

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(-x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x}\\ & =-\underset{-\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x}\\ & =-f^{\prime }(x)\end{array}$

同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$。

定理：$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f^{\prime }(x)$也是以$T$为周期的周期函数。

证明：已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f^{\prime }(x+T)=f^{\prime }(x)$。

$\therefore f^{\prime }(x+T)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime }(x)$。

例题：设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\frac{1}{2})>0$，$f^{\prime }(\frac{1}{2})>0$，比较$f(-\frac{1}{2})$、$f^{\prime }(\frac{3}{2})$、$f^{\prime \prime }(0)$的大小。

解：$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f^{\prime }(x)\text{偶函数}\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)\text{奇函数}\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=0$。

$\therefore f(-\frac{1}{2})=-f(\frac{1}{2})<0$。

$\because f(x)T=2\Rightarrow f^{\prime }(x)T=2$，$\therefore f^{\prime }(\frac{3}{2})=f^{\prime }(\frac{3}{2}-2)=f^{\prime }(-\frac{1}{2})=f^{\prime }(\frac{1}{2})>0$。

$\therefore f^{\prime }(\frac{3}{2})>f^{\prime \prime }(0)>f(-\frac{1}{2})$。

例题：${\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}(x>0)$。

解：$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+\Delta x\right)}^{\alpha }-x^{\alpha }}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{x^{\alpha }\left[{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}^{\alpha }-1\right]}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{x^{\alpha }\cdot \alpha \cdot \frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\alpha x^{\alpha -1}$

导数的几何意义

导数$f^{\prime }(x_0)$在几何上就是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。

切线方程：$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。

法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$。

可导与连续的关系

定理：可导必连续，连续不一定可导。

证明：已知连续定义：$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x+\Delta x)-f(x)=0$。

可导定义：$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=A$

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(x+\Delta x)-f(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot \Delta x=A\cdot 0=0$

定理：若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f^{\prime }(x_0)=A$。

证明：$\because \text{连续，}\therefore f(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。

又$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{x-x_0}=A$。

如$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f^{\prime }(1)=2$。

💻 计算机专业视角

「可导 ⇒ 连续，连续 ⇏ 可导」正是 ReLU 能用、阶跃函数不能用的根本原因。 深度学习最常用的激活函数 $\text{ReLU}(x)=\max (0,x)$ 处处连续，但在 $x=0$ 处是个角点——左导数 $0$、右导数 $1$，并不可导。工程上的对策是「次梯度」：在 $0$ 处随便取 $[0,1]$ 里一个值（框架一般取 $0$）照常反向传播。真正没法救的是完全断开的函数：阶跃 / 取整函数不连续，更谈不上可导，梯度几乎处处为 $0$，模型学不动——这就是为什么神经元不用硬阈值、而改用连续激活函数。

🌱 大一新生提示

这是高频易错点，务必记牢方向：可导一定连续，连续不一定可导。 「可导」比「连续」要求更高——可导意味着「既不断开、又足够光滑（有唯一切线）」。所以一个函数只要在某点不连续（断开 / 跳跃），就立刻不可导；但反过来不成立：$y=|x|$ 在 $0$ 处连续（图像没断），却因为有个尖角而不可导。做题判断时先看连不连续，再看光不光滑。

函数求导法则

四则运算

若函数可导：

1. 和差的导数：$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$。
2. 积的导数：$[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$，$[u(x)v(x)w(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)w(x)+u(x)v^{\prime }(x)w(x)+u(x)v(x)w^{\prime }(x)$。
3. 商的导数：${\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$，$v(x)\ne 0$。

证明$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$。

证明：令$f(x)=u(x)v(x)$。

$(u\cdot v{)}^{\prime }$

$=f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x)+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x)$

$=u^{\prime }(x)v(x)+v^{\prime }(x)u(x)$

反函数导数

定理：$y=f(x)$可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$，

则存在反函数$x=\phi (y)$，且$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}}$，即${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$。

$y=f(x)$可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。

例题：求$y=\arcsin x,x\in (-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。

解：首先反三角函数就是三角函数的反函数。

求$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$。

$\therefore \frac{\text{d}\arcsin x}{\text{d}x}=\frac{1}{\frac{\text{d}\sin y}{\text{d}y}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

求$y=\arctan x$，就$x=\tan y$。

$\therefore \frac{\text{d}\arctan x}{\text{d}x}=\frac{1}{\frac{\text{d}\tan y}{\text{d}y}}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$。

二阶反函数导数定理：

$f^{\prime \prime }(x)=y_{xx}^{\prime \prime }=\frac{\text{d}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)}{\text{d}x}=\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{\text{d}\left(\frac{1}{{\phi }^{\prime }(y)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(\frac{1}{{\phi }^{\prime }(y)}\right)}{\text{d}y}\cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

$=-\frac{x_{yy}^{\prime \prime }}{(x_y^{\prime }{)}^2}\cdot \frac{1}{x_y^{\prime }}=-\frac{x_{yy}^{\prime \prime }}{(x_y^{\prime }{)}^3}$

其中$\text{d}x\cdot \text{d}x=(\text{d}x{)}^2=\text{d}{x}^2$称为微分的幂，而$\text{d}(x^2)$叫幂的微分。

例题：设$y=f(x)$的反函数是$x=\phi (y)$，且$f(x)={\int }_1^{2x}{e}^{t^2}\text{d}t+1$，求${\phi }^{\prime \prime }(1)$。

解：$\because y=f(x)$，$\therefore x=\phi (y)$，$x_{yy}^{\prime \prime }={\phi }^{\prime \prime }(y)=-\frac{y_{xx}^{\prime \prime }}{(y_x^{\prime }{)}^3}=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{[f^{\prime }(x){]}^3}$。

其中根据变限积分求导公式：$f^{\prime }(x)=2e^{4x^2}$，$f^{\prime \prime }(x)=2e^{4x^2}\cdot 8x=16x{e}^{4x^2}$。

又$y=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow {\phi }^{\prime \prime }(1)=-\frac{f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{2}\right)}{{\left[f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\right]}^3}=-\frac{1}{e^2}$。

复合函数的导数

定理：$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]{\}}^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)$。

💻 计算机专业视角

链式法则 = 反向传播(backpropagation)的数学内核。 神经网络就是一长串复合函数 $L=\ell (f_n(\cdots f_2(f_1(x))))$，要求某层参数的梯度，就得把各层导数连乘起来——这正是 $\{f[g(x)]{\}}^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)$ 的逐层推广。反向传播之所以「反向」，是因为按链式法则从输出端的 $\frac{\partial L}{\partial f_n}$ 往输入端逐项乘 Jacobian 最省计算。连乘也解释了两大顽疾：每项都小于 $1$ 连乘就梯度消失，每项都大于 $1$ 连乘就梯度爆炸；残差连接、归一化、LSTM 门控本质都是在驯服这条连乘链。

🌱 大一新生提示

链式法则口诀：「由外向里，一层层剥，导数连乘」。 复合函数像套娃 $y=f(g(x))$：$g$ 是里层、$f$ 是外层。求导时先对外层求导（把里层当成一个整体不动），再乘以里层的导数，即 $f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$。比如 $(\sin (x^2){)}^{\prime }=\cos (x^2)\cdot 2x$——先 $\cos$（外层），再乘 $x^2$ 的导数 $2x$（里层）。套了几层就连乘几个导数，千万别漏掉最里面那一项。

例题：设$f(x)=\prod _{n=1}^{100}\left(\tan \frac{\pi x^n}{4}-n\right)$，则$f^{\prime }(1)$为？

解：原式=$\left(\tan \frac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan \frac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots \left(\tan \frac{\pi x^{100}}{4}-100\right)$。

令$\left(\tan \frac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots \left(\tan \frac{\pi x^{100}}{4}-100\right)=g(x)$。

$\therefore f(x)=\left(\tan \frac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。

$\therefore f^{\prime }(x)={\sec }^2\frac{\pi x}{4}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot g(x)+\left(\tan \frac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g^{\prime }(x)$。

$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan \frac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。

$\therefore f^{\prime }(1)$

$=f^{\prime }(x){|}_{x=1}=\frac{\pi }{2}\cdot g(1)+0\cdot g^{\prime }(x)=\frac{\pi }{2}\cdot g(1)=\frac{\pi }{2}(-1)(-2)\cdots (-99)=-\frac{\pi }{2}\cdot 99!$

分段函数的导数

设$f(x)=\{\begin{array}{lcl}{f}_1(x),& & x⩾x_0\\ f_2(x),& & x<x_0\end{array}$。

在分段点用定义：

判断$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\stackrel{?}{=}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。如果相等就挖去这个点，否则就包含这个点。

非分段点使用导数公式求导：当 $x>x_0$ 时 $f^{\prime }(x)=f_1^{\prime }(x)$，当 $x<x_0$ 时 $f^{\prime }(x)=f_2^{\prime }(x)$。

对数求导法

对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设$y=f(x)(f(x)>0)$，则①等式两边取对数：$\ln y=\ln f(x)$。②两边对自变量$x$求导，得$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=[\ln f(x){]}^{\prime }\Rightarrow y^{\prime }=y[\ln f(x){]}^{\prime }$。

💻 计算机专业视角

先取对数再求导，就是机器学习里无处不在的「对数导数技巧」(log-derivative trick)。 强化学习的策略梯度 REINFORCE 用到恒等式 ${\nabla }_{\theta }{p}_{\theta }=p_{\theta }{\nabla }_{\theta }\ln p_{\theta }$，把对概率求梯度转成对「对数概率」求梯度；最大似然估计 (MLE) 也总是优化对数似然 $\ln L$ 而不是 $L$。原因和这里完全一样：连乘 $\prod$ 取对数后变成连加 $\sum$，求导从麻烦的「积的导数」退化成「各项导数相加」，又快又稳，还顺手避免了大量小概率连乘导致的浮点下溢。

🌱 大一新生提示

遇到「一大堆东西连乘、连除、开方、乘方」的求导，先取对数能把难度砍一半。 因为 $\ln$ 能把乘除变加减、把指数搬下来：$\ln (ab)=\ln a+\ln b$、$\ln a^n=n\ln a$。两边取对数后再对 $x$ 求导，左边按链式法则得到 $\frac{y^{\prime }}{y}$，右边变成一堆简单分式相加，最后把 $y$ 乘回去即可。注意取的是 $\ln |y|$（带绝对值），这样不要求 $y>0$ 也能放心用。

例题：求$y=\sqrt[3]{\frac{(x+1)(2x-1{)}^2}{(4-3x{)}^5}}$的导数。

解：取对数：$\ln |y|=\frac{1}{3}[\ln |x+1|+2\ln |2x-1|-5\ln |4-3x|]$。

$\because \ln |y{|}^{\prime }=\ln y^{\prime }$。

两边对x求导：

$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{4}{2x-1}-\frac{5}{4-3x}\cdot (-3)\right)$

$\therefore y^{\prime }=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{4}{2x-1}-\frac{5}{4-3x}\cdot (-3)\right)y$

幂指函数求导法

非常重要。

对于$u(x{)}^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\ne 1)$，除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$。

然后求导得到$[u(x{)}^{v(x)}{]}^{\prime }=[e^{v(x)\ln u(x)}{]}^{\prime }$

$=u(x{)}^{v(x)}\left[v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\cdot \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}\right]$。

例题：求$y=x^x(x>0)$的导数。

解：$\because x^x=e^{x\ln x}$，$\therefore (x^x{)}^{\prime }=(e^{x\ln x}{)}^{\prime }=x^x\cdot (\ln x+1)$。

例题：求解$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$的整数最大值。

解：$\because y=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln x}$。

$\therefore y^{\prime }=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)={\left(e^{\frac{1}{x}\ln x}\right)}^{\prime }=x^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}$。

令导数结果为0，因为$x^{\frac{1}{x}}$与$x^2$在$x>0$时都不为0，所以只有一个驻点$x=e$。

$0<x<e$时$1-\ln x$大于0，所以导数大于0，函数在该区间增。相反$x>e$时函数在区间减。

研究驻点左侧情况，求对应的极限：$e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{x}}=e^{-\infty }\to 0$。

研究驻点右侧情况，求对应的极限：$e^{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}}=e^0\to 1$。

所以必然在$\sqrt{2}$与$\sqrt[3]{3}$两点取得整数最大值，而全部六次方后${\sqrt{2}}^6=8<\sqrt[3]{3}=9$，所以$\sqrt[3]{3}$为最大整数解。

高阶导数

定义

高阶导数定义：$f^{(n)}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n⩾2$且$n\in N^{+}$，$f^{(n-1)}(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。

若$f^{(n)}(x)$在区间$I$上连续，称$f(x)$在$I$上$n$阶连续可导。

• $(e^x{)}^{(n)}=e^x$。
• $(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\frac{\pi }{2})$。
• $(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\frac{\pi }{2})$。
• $(\ln (1+x){)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}$。

定理：

设$u,v$都是$n$阶可导，则：

• $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$。
• 莱布尼兹公式：$(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$。

💻 计算机专业视角

高阶导数 = 泰勒展开和二阶优化的原料。 把函数在一点的各阶导数凑起来就是泰勒级数，计算机算 $\sin$、$e^x$ 全靠它。优化里更直接：只用一阶导（梯度）是梯度下降，用上二阶导（Hessian 矩阵，即多元版的「二阶导数」）就是牛顿法，收敛快得多，代价是要算并求逆 Hessian。数值上二阶导可用差分 $\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$ 近似——这正是物理引擎、有限差分法解微分方程时离散化加速度 / 扩散项的标准套路。

🌱 大一新生提示

高阶导数就是「导数的导数的导数……」，一层套一层地反复求。 一阶导 $f^{\prime }$ 描述变化快慢，二阶导 $f^{\prime \prime }$ 描述「变化快慢本身又在怎么变」——物理上位移的一阶导是速度、二阶导是加速度，就是这个意思。求法有两条路：①归纳法，连续求几次找规律（如 $(\sin x{)}^{(n)}=\sin \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$）；②两个函数乘积的 $n$ 阶导用莱布尼茨公式，它的系数恰好是杨辉三角对应的那一行。

归纳法

即依次求导得出规律。

$(a^x{)}^n=a^x(\ln a{)}^{(n)}$，如$y=2^x$，则$y^{\prime }=2^x\ln 2$，$y^{\prime \prime }=2^x(\ln 2{)}^2\cdots$得到$y^{(n)}=2^x(\ln 2{)}^n,n\in N$。

例题：求$\sin x$的$n$阶导数。

解：$\because \sin x^{\prime }=\cos x$而不断求导会发现正负号会++--++--地变化而难以归纳为公式，所以需要另想办法。

使用诱导公式：

$y^{\prime }=\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$

$y^{\prime \prime }=\cos (x+\frac{\pi }{2})=\sin (x+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})$

$\cdots$

$y^{(n)}=\sin (x+\frac{\pi }{2}\cdot n)$

莱布尼茨公式

定义：设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$。

展开：$(uv{)}^{(n)}=C_n^0{u}^{(n)}{v}^{(0)}+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+\cdots +C_n^n{u}^{(0)}{v}^{(n)}$。

莱布尼兹公式里的系数与准备章节的因式分解公式的二次项公式的系数一致，可以使用杨辉三角形来记忆：

例题：已知函数$y=e^x\cos x$，求$y^{(4)}$。

解：根据莱布尼兹公式：

$(e^x\cos x{)}^{(4)}$

$=C_4^0{e}^x\cos x+C_4^1{e}^x(-\sin x)+C_4^2{e}^x(-\cos x)+C_4^3{e}^x(\sin x)+C_4^4{e}^x(\cos x)$

$=e^x\cos x+4e^x(-\sin x)+6e^x(-\cos x)+4e^x\sin x+e^x\cos x$

$=-4e^x\cos x$

隐函数与参数方程的导数以及相关变化率

隐函数求导法

设函数$y=y(x)$由方程$F(x,y)=0$确定的可导函数，则①方程两边对自变量$x$求导，（$y=y(x)$就是将$y$看作中间变量）得到一个关于$y^{\prime }$的方程。②解该方程就可以得出$y^{\prime }$。

💻 计算机专业视角

隐函数求导对应「隐函数定理」，是深度学习里隐式层(implicit layers)反向传播的基础。 当 $y$ 没法显式解成 $y=f(x)$、只满足方程 $F(x,y)=0$ 时，照样能对方程两边求导解出 $y^{\prime }$。这套思想撑起了一类新模型：深度平衡模型 (DEQ)、Neural ODE 的不动点 / 平衡点 $F(x,z^{\ast })=0$ 没有闭式解，却能借隐函数定理直接对「解」求梯度做反向传播，省去存储整个迭代过程的显存。优化里的灵敏度分析、对最优性条件 $\nabla F=0$ 求参数导数，也是同一招。

🌱 大一新生提示

隐函数求导的关键心法：把 $y$ 始终看成「$x$ 的函数」。 方程里只要出现 $y$，对 $x$ 求导时就要把它当复合函数、额外乘一个 $y^{\prime }$（这其实就是链式法则）。比如对 $y^2$ 求导得 $2y\cdot y^{\prime }$，对 $\sin y$ 求导得 $\cos y\cdot y^{\prime }$。两边求完导后会得到一个含 $y^{\prime }$ 的方程，像解普通方程一样把 $y^{\prime }$ 解出来即可。要在某点求具体值时，记得把该点的 $x$、$y$ 一起代进去。

例题：设$y=y(x)$是由方程$\sin (xy)=\ln \frac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y^{\prime }(0)$。

解：两边求导：

$\begin{array}{rl}\sin (xy)& =\ln (x+e)-\ln (y)+1\\ \cos (xy)(y+x{y}^{\prime })& =\frac{1}{x+e}-\frac{y^{\prime }}{y}\\ \because \text{将0代入}& x=0,y=e^2\\ e^2& =\frac{1}{e}-\frac{y^{\prime }(0)}{e^2}\\ y^{\prime }(0)& =e-e^4\end{array}$

参数方程函数导数

定理：设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$确定，其中$t$为参数，且$\phi (t)\psi (t)$对于$t$都可导，$\phi (t)\ne 0$，则：

一阶导数：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y/\text{d}t}{\text{d}x/\text{d}t}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}=u(t)$。

二阶导数：$\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{\text{d}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)/\text{d}t}{\text{d}x/\text{d}t}=\frac{\text{d}u/\text{d}t}{\text{d}x/\text{d}t}=\frac{u_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$

例题：设$y=y(x)$由方程$\{\begin{array}{l}x=\sin t\\ y=t\sin t+\cos t\end{array}$（$t$为参数）确定，求$\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}$。

解：求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{t\cos t}{\cos t}=t$。

$\therefore \frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{\text{d}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)}{\text{d}x}=\frac{t_t^{\prime }}{(\sin t{)}_t^{\prime }}=\frac{1}{\cos t}$

$\therefore \sqrt{2}$。

当所求是极坐标方程时，可以使用$x=\rho (\theta )\cos \theta$和$y=\rho (\theta )\sin \theta$进行转换为参数方程然后进行求导。

相关变化率

已知$x=x(t)$与$y=y(t)$都是可导函数，而变量$xy$之间存在一定的关系，从而导致变化率$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$与$\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$之间也存在一定关系，这就是相关变化率。。

列出依赖于$t$的相关变化率关系式，然后等式两端对$t$求导。

💻 计算机专业视角

相关变化率 = 对时间用链式法则，是物理仿真和动画的每帧更新逻辑。 两个量通过几何 / 物理关系绑在一起，对时间 $t$ 求导就把它们的变化速度联系起来。游戏引擎、物理模拟每一帧都在做这件事：由约束方程对时间求导得到速度 / 角速度关系，再积分推进状态。机器学习里训练动态系统（RNN 沿时间展开、Neural ODE 沿 $t$ 积分）的「随时间反向传播 (BPTT)」，本质也是这条「对 $t$ 的链式法则」。

🌱 大一新生提示

相关变化率题型套路：先写出量与量之间的等式，再「整体对时间 $t$ 求导」。 经典例子：往气球里打气，半径在变、体积也在变，二者由 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 绑定；两边对 $t$ 求导得 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=4\pi r^2\frac{\text{d}r}{\text{d}t}$，知道其中一个变化率就能求另一个。要点是每个变量都是时间的函数，求导时别忘了乘上它对 $t$ 的导数（又是链式法则）。

函数微分

定义

有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x{)}^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x{)}^2$。

当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot \Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。

增量$\Delta y=f(x_0+\Delta )-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\text{d}y$，叫做$y$的微分。

$\therefore \text{d}y{|}_{x=x_0}=A\Delta x=y^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x=y^{\prime }(x_0)\cdot \text{d}x$。

由此，可导必可微，可微必可导。

所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。微分就是瞬时改变量，而导数就是瞬时改变速率。

💻 计算机专业视角

微分 = 局部线性近似(linear approximation)，是几乎所有数值算法的第一步。 $\text{d}y=f^{\prime }(x_0)\text{d}x$ 说的是：在一点附近用切线（直线）代替曲线，误差是高阶无穷小 $o(\Delta x)$。这就是「线性化」：牛顿法用它把非线性方程一步步逼成线性方程求根；扩展卡尔曼滤波 (EKF) 用它线性化非线性系统；反向传播本身也是把每层局部线性化后再传梯度。连浮点误差分析都靠它——用 $\text{d}y\approx f^{\prime }(x)\text{d}x$ 估计输入的微小扰动被放大多少（即条件数）。记住「用直线近似曲线」这一句，半部数值计算都通了。

🌱 大一新生提示

微分和导数是一对好搭档：导数是「变化率」，微分是「按这个变化率，自变量动一点点 $\text{d}x$，函数大约动多少 $\text{d}y$」。 公式 $\text{d}y=f^{\prime }(x_0)\text{d}x$ 的本质，是「用切线那条直线代替弯曲的曲线」去估算变化量——只要 $\text{d}x$ 够小，直线和曲线几乎贴合，误差小到可以忽略。这也是「可导 $\iff$ 可微」的直观含义：能求斜率，就能用直线做近似。近似计算如 $\sqrt{4.01}\approx 2+\frac{1}{4}\times 0.01$ 用的就是它。

基本运算

四则运算

若函数可导：

1. 和差的微分：$\text{d}[ku(x)\pm lv(x)]=k\text{d}u(x)\pm l\text{d}v(x)$。
2. 积的微分：$\text{d}[u(x)v(x)]=u(x)\text{d}v(x)+v(x)\text{d}u(x)$。
3. 商的微分：$\text{d}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]=\frac{v(x)\text{d}u(x)-u(x)\text{d}v(x)}{[v(x){]}^2}$，$v(x)\ne 0$。
4. 复合函数的微分：链式求导法则$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{\text{d}u}{\text{d}y}\cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$。

微分形式不变性

定义：设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\text{d}y=y_x^{\prime }\text{d}x=y_u^{\prime }\text{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\text{d}\{f[g(x)]\}=f{}^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)\text{d}x$。

一阶微分形式不变性指：$\text{d}f(\varsigma )=f{}^{\prime }(\varsigma )\text{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。

例题：设$y=e^{\sin (\ln x)}$，求$\text{d}y$。

解：$\because y=e^{\sin (\ln x)}\therefore$

$\begin{array}{rl}\text{d}y& =\text{d}{e}^{\sin (\ln x)}\\ & =e^{\sin (\ln x)}\cdot \text{d}(\sin (\ln x))\\ & =e^{\sin (\ln x)}\cdot \cos (\ln x)\cdot \text{d}\ln x\\ & =e^{\sin (\ln x)}\cdot \cos (\ln x)\cdot \frac{1}{x}\text{d}x\end{array}$

基本求导公式

对幂指函数

原函数	导函数	原函数	导函数
$C$	$0$	$n^x$	$n^x\ln n$
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$\ln x=\ln |x|$	$\frac{1}{x}$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$	$\sqrt[n]{x}$	$\frac{x^{-\frac{n-1}{n}}}{n}$
$\frac{1}{x^n}$	$-\frac{n}{x^{n+1}}$

三角与反三角函数

原函数	导函数	原函数	导函数
$\sin x$	$\cos x$	$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$	$\cot x$	$\frac{1}{{\sin }^{2}x}={\csc }^{2}x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\csc x$	$-\csc x\cot x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\text{arccot}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$
$\text{arcsec}x$	$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$	$\text{arccsc}x$	$-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

双曲与反双曲函数

• 双曲正弦：$\text{sinh}x=\text{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$。
• 双曲余弦：$\text{cosh}x=\text{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$。
• 双曲正切：$\text{tanh}x=\text{th}x=\frac{\text{sinh}x}{\text{cosh}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$。
• 双曲余切：$\text{coth}x=\frac{\text{cosh}x}{\text{sinh}x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$。
• 双曲正割：$\text{sech}x=\frac{1}{\text{cosh}x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$。
• 双曲余割：$\text{csch}x=\frac{1}{\text{sinh}x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$。
• 反双曲正弦：$\text{arcsinh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$。
• 反双曲余弦：$\text{arccosh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$。
• 反双曲正切：$\text{arctanh}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$。

原函数	导函数	原函数	导函数
$\text{sinh}x$	$\text{cosh}x$	$\text{cosh}x$	$\text{sinh}x$
$\text{tanh}x$	$\frac{1}{\text{cosh}{x}^2}$	$\text{arcsinh}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\text{arccosh}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$	$\text{arctan}x$	$\frac{1}{1-x^2}$