线性方程组

基本概念

矩阵是根据线性方程组得到。线性方程组和向量组本质上是一致的。

线性方程组与矩阵

$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 \dots a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{mn} x_{n} = 0$

$n$ 元齐次线性方程组。

$⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \dots a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{n}$

$n$ 元非齐次线性方程组。

$m$ 是方程个数，即方程组行数， $n$ 是方程未知数个数，即类似方程组的列数。

对于齐次方程， $x_{1} = \dots = x_{n} = 0$ 一定是其解，称为其零解，若有一组不全为零的解，则称为其非零解。其一定有零解，但是不一定有非零解。

对于非齐次方程，只有 $b_{1} \dots b_{n}$ 不全为零才是。

令系数矩阵 $A_{m \times n} = a_{11} \dots a_{m 1} \dots \dots a_{1 n} a_{mn}$ ，未知数矩阵 $x_{n \times 1} = x_{1} \dots x_{n}$ ，常数项矩阵 $b_{m \times 1} = b_{1} \dots b_{m}$ ，增广矩阵 $B_{m \times (n + 1)} = a_{11} \dots a_{m 1} \dots \dots a_{1 n} a_{mn} b_{1} b_{n}$ 。

所以 $A X = a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} \dots a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{mn} x_{n}$ 。

从而 $A X = b$ 等价于 $⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \dots a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{n}$ ，当 $b = O$ 就是齐次线性方程。

从而矩阵可以简单表示线性方程。

💻 计算机专业视角

$A x = b$ 是几乎所有数值计算的核心问题。科学计算、机器学习、图形学里大量任务最终都归结为解线性方程组：最小二乘拟合、线性回归的正规方程、有限元、电路网络分析、潮流计算等。工程上几乎不会真的去求逆矩阵 $A^{- 1}$ 再乘 $b$ （代价大且数值不稳定），而是用 LU 分解、Cholesky 分解（对称正定时）或对大型稀疏系统用共轭梯度等迭代法直接解 $A x = b$ 。

🌱 大一新生提示

把方程组打包成「矩阵 × 未知数 = 常数」。初学时一定要分清三样东西：系数矩阵 $A$ （每个方程左边的系数排成的表）、未知数列向量 $x$ 、常数列向量 $b$ 。原来一行一行写的方程组，现在压缩成一个 $A x = b$ 。 $A$ 的行数 = 方程个数，列数 = 未知数个数，这个对应关系记牢，后面判断解的情况全靠它。

矩阵乘法与线性变换

矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。

$⎩ ⎨ ⎧ y_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 s} x_{s} \dots y_{m} = a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m s} x_{s} ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = b_{11} t_{1} + b_{12} t_{2} + \dots + b_{1 n} t_{n} \dots x_{s} = b_{s 1} t_{1} + b_{s 2} t_{2} + \dots + b_{s n} t_{n}$

原本是线性方程分别是 $y$ 与 $x$ 和 $x$ 与 $t$ 的关系式，而如果将 $t$ 关于 $x$ 的关系式代入 $x$ 关于 $y$ 的关系式中，就会得到 $t$ 关于 $y$ 的关系式：

$⎩ ⎨ ⎧ y_{1} = a_{11} (b_{11} t_{1} + \dots + b_{1 n} t_{n}) + \dots + a_{1 s} (b_{s 1} t_{1} + b_{s 2} t_{2} + \dots + b_{s n} t_{n}) \dots y_{m} = a_{m 1} (b_{11} t_{1} + \dots + b_{1 n} t_{n}) + \dots + a_{m s} (b_{s 1} t_{1} + b_{s 2} t_{2} + \dots + b_{s n} t_{n})$

$= ⎩ ⎨ ⎧ y_{1} = (a_{11} b_{11} + \dots + a_{1 s} b_{s 1}) t_{1} + \dots + (a_{11} b_{1 n} + \dots + a_{1 s} b_{s n}) t_{n} \dots y_{m} = (a_{m 1} b_{11} + \dots + a_{m s} b_{s 1}) t_{1} + \dots + (a_{m 1} b_{1 n} + \dots + a_{m s} b_{s n}) t_{m}$

这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：

$a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots ⋱ \dots a_{1 s} ⋮ a_{m s}_{m \times s} b_{11} ⋮ b_{s 1} \dots ⋱ \dots a_{1 n} ⋮ b_{s n}_{s \times n}$

$= a_{11} b_{11} + \dots + a_{1 s} b_{s 1} ⋮ a_{m 1} b_{11} + \dots + a_{m s} b_{s 1} \dots ⋱ \dots a_{11} b_{1 n} + \dots + a_{1 s} b_{s n} ⋮ a_{m 1} b_{1 n} + \dots + a_{m s} b_{s n}_{m \times n} 。$

线性方程组的解

对于一元一次线性方程： $a x = b$ ：

当 $a \neq = 0$ 时，可以解得 $x = \frac{b}{a}$ 。
当 $a = 0$ 时，若 $b \neq = 0$ 时，无解，若 $b = 0$ 时，无数解。

当推广到多元一次线性方程组： $A x = b$ ，如何求出 $x$ 这一系列的 $x$ 的解？

从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有 $m$ 个约束方程，有 $n$ 个未知数，假定 $m ⩽ n$ 。

当 $m < n$ 时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有 $n - m$ 个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。无穷多解需要一个解来代表其他解，这个解就是基础解系。

当 $m = n$ 时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。

当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于 $m < n$ ，结果是无数解。

当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。

当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。

若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵 $A_{m \times n}$ 。

对于 $A \neq = O$ ，则 $A x = b$ ，若存在一个矩阵 $B_{n \times n}$ 类似 $\frac{1}{a}$ ，使得 $B A x = B b$ ，解得 $E x = x = B b$ ，这个 $B$ 就是 $A$ 的逆矩阵。

对于 $A = O$ 即不可逆，需要判断 $b$ 是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。

取自由变量时必须要保证取完后的矩阵行列式不为0，否则自由变量不能表示其他向量。

💻 计算机专业视角

「解的三种情况」对应数值求解里的不同信号。唯一解 ↔ $A$ 满秩、行列式非零、条件数有限；无穷多解 ↔ 系统欠定（变量比有效约束多），机器学习里就是参数比样本多、需要正则化的过拟合场景；无解 ↔ 系统超定（约束矛盾），这正是最小二乘登场的地方——求一个让 $∥ A x - b ∥$ 最小的「近似解」。一个接近奇异的 $A$ （条件数很大）在浮点运算下会放大误差，所以数值上「能不能解、解得准不准」比理论上「有没有解」更关键。

🌱 大一新生提示

解的个数其实由「有效约束数」和「未知数个数」的较量决定。把每个方程想成一条限制。限制太少（有效方程 < 未知数）→ 管不住所有变量 → 无穷多解；限制刚好且不打架 → 唯一解；限制之间自相矛盾 → 无解。所谓「有效」是指去掉那些能被别的方程推出来的重复方程，这就是为什么要用秩来数，而不是直接数方程行数。

线性方程组的矩阵解表示

已知对于线性方程组 $⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \dots a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{n}$ 。

按乘积表示为 $A_{m \times n} x_{n \times 1} = b_{m \times 1}$ ，然后将 $A$ 按列分块， $x$ 按行分块：

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = b ， a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} x_{n} = b_{1} b_{2} ⋮ b_{m} 。$

这三种都是解的表示方法。

具体线性方程

齐次方程组

即 $A x = 0$ 。其中 $A$ 有 $m$ 行 $n$ 列。

有解条件

必有一个零解。

有解条件讨论是否列满秩问题，即方程组是否能约束全部变量。

对系数矩阵进行行变换，若 $r (A) = m$ ，即使行满秩若 $m < n$ 则列不满秩，那么还是无法约束所有变量；若 $r (A) = n$ ，即使行不满秩但是列满秩，所以还是能约束所有变量。

当 $r (A) = n$ 时，即 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性无关，则方程组有唯一零解。

当 $r (A) = r < n$ 时，即 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性相关，则方程具有无穷多个非零解，具有 $n - r$ 个线性无关解（自由变量）。

解的性质

若 $A ξ_{1} = 0$ ， $A ξ_{2} = 0$ ，则 $A (k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}) = 0$ 。

解的结构

基础解系定义：假如 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}$ 满足：①是方程组 $A x = 0$ 的解；②线性无关；③方程组 $A x = 0$ 的任一解均可由 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}$ 线性表出，则称 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}$ 为 $A x = 0$ 的基础解系。

当 $r (A) < n$ 时讨论基础解系。

通解定义：设 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}$ 是 $A x = 0$ 的基础解系，则 $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}$ 是方程组 $A x = 0$ 的通解， $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n - r}$ 为任意常数。

💻 计算机专业视角

齐次方程组 $A x = 0$ 的解集，就是 $A$ 的零空间（null space / kernel）。基础解系 $ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}$ 是这个零空间的一组基，维数 $n - r$ 正是「零度」（nullity），秩-零化度定理 $rank + nullity = n$ 就是这里 $r + (n - r) = n$ 的另一种说法。在机器学习里，零空间非空意味着特征线性相关、参数不可辨识；在求解线性系统时，零空间描述了「解的不确定方向」——可以沿这些方向任意移动而不破坏方程。

🌱 大一新生提示

「自由变量」就是你能随便取值的那几个未知数。把矩阵化成阶梯形后，每个台阶对应一个被「锁死」的主变量，剩下没台阶管的就是自由变量，共 $n - r$ 个。基础解系的做法是：让一个自由变量取 1、其余取 0，反解出主变量，得到一个解向量；轮流来一遍就凑齐了所有基础解。通解就是把这些基础解任意线性组合（系数 $k$ 随便取）。

求解过程

将系数矩阵 $A$ 作为初等行变换后化为阶梯形矩阵或最简阶梯形矩阵 $B$ ，因为初等行变换将方程组化为同解方程组，所以 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解，只需解 $B x = 0$ ，设 $r (A) = r$ 。其中 $A$ 为 $m$ 行 $n$ 列， $m$ 为约束方程组个数， $n$ 为变量个数。
在 $B$ 中按列找到一个秩为 $r$ 的子矩阵，即在每排阶梯都选出一列组合成子矩阵，则剩余列位置的未知数就是自由变量。（极大线性无关组）
按基础解析定义求出 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}$ ，并写出通解。

例题：求齐次线性方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} - 3 x_{4} - x_{5} = 0 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} - x_{4} = 0 4 x_{1} - 2 x_{2} + 6 x_{3} + 3 x_{4} - 4 x_{5} = 0 2 x_{1} + 4 x_{2} - 2 x_{3} + 4 x_{4} - 7 x_{5} = 0$ 的通解。

解：系数矩阵 $A = 1142 1 - 1 - 2 4 036 - 2 - 3 - 1 34 - 1 0 - 4 - 7$ ，然后对其行变换，得到：

$= 1000 1 - 2 00 0200 - 3 230 - 1 1 - 1 0 = 10000100 1 - 1 00 0010 - \frac{7}{6} \medskip - \frac{5}{6} \medskip - \frac{1}{3} 0$ ， $r (A) = 3$ 。

然后找子矩阵，第一台阶选 $C_{1}$ ，第二台阶选 $C_{2}$ 或 $C_{3}$ ，第三台阶选 $C_{4}$ 或 $C_{5}$ ，随便找一个，如 $(C_{1}, C_{2}, C_{4})$ 为子矩阵，则 $C_{3}$ ， $C_{5}$ 所代表的未知数 $x_{3}$ ， $x_{5}$ 就是自由变量。

所以选择两个分量 $ξ_{1} = (ξ_{11}, ξ_{12}, ξ_{13}, ξ_{14}, ξ_{15})^{T}$ 和 $ξ_{2} = (ξ_{21}, ξ_{22}, ξ_{23}, ξ_{24}, ξ_{25})^{T}$ 作为基础解系。

因为此时选择 $x_{3}$ ， $x_{5}$ 为自由变量，所以 $x_{3}$ 和 $x_{5}$ 所对应的 $ξ_{13}$ 、 $ξ_{15}$ 、 $ξ_{23}$ 、 $ξ_{25}$ 可以任意取，但是为了保证秩为2，所以让 $ξ_{13} = 1$ 、 $ξ_{15} = 0$ 、 $ξ_{23} = 0$ 、 $ξ_{25} = 1$ 。这四个分量组成的矩阵线性无关，原矩阵线性无关，延长矩阵线性无关，从而 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 必然线性无关。

所以此时已经给定两组解，一种是 $ξ_{1}$ 的 $x_{3} = 1$ ， $x_{5} = 0$ ，另一种是 $ξ_{2}$ 的 $x_{3} = 0$ ， $x_{5} = 1$ ，这样就只有三个未知数和三个方程，分别代入 $A$ 矩阵所代表的方程组中（代入行阶梯矩阵就可以，不用代入最简行阶梯矩阵）：

$⎩ ⎨ ⎧ 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} - 3 \cdot x_{4} - 1 \cdot x_{5} = 0 0 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} + 2 \cdot x_{4} + 1 \cdot x_{5} = 0 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + 3 \cdot x_{4} - 1 \cdot x_{5} = 0$ ，分别代入：

$ξ_{1}$ ： $⎩ ⎨ ⎧ 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot 1 - 3 \cdot x_{4} - 1 \cdot 0 = 0 0 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot 1 + 2 \cdot x_{4} + 1 \cdot 0 = 0 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot 1 + 3 \cdot x_{4} - 1 \cdot 0 = 0$ ， $ξ_{1} = (- 1, 1, 1, 0, 0)^{T}$ 。

$ξ_{2}$ ： $⎩ ⎨ ⎧ 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot 0 - 3 \cdot x_{4} - 1 \cdot 1 = 0 0 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot 0 + 2 \cdot x_{4} + 1 \cdot 1 = 0 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot 0 + 3 \cdot x_{4} - 1 \cdot 1 = 0$ ， $ξ_{2} = (7, 5, 0, 2, 6)^{T}$ 。

所以通解为 $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} = k_{1} (- 1, 1, 1, 0, 0)^{T} + k_{2} (7, 5, 0, 2, 6)^{T}$ 。

非齐次方程组

即 $A x = b$ ， $b$ 为不全为0的列向量。

有解条件

$A = [α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}]$ ，其中 $α_{j} = [a_{1 j}, a_{2 j}, \dots, a_{mj}]^{T}$ ， $j = 1, 2, \dots, n$ 。

当 $r (A) \neq = r ([A, b])$ 时（ $r (A) + 1 = r ([A, b])$ ），即 $b$ 不能被 $A$ 线性表出，则方程组无解。

当 $r (A) = r ([A, b]) = n$ 时，即 $b$ 能被 $A$ 线性表出， $A$ 线性无关， $[A, b]$ 线性相关，矩阵列满秩，则方程组有唯一解。

当 $r (A) = r ([A, b]) = r < n$ 时，即 $b$ 能被 $A$ 线性表出， $A$ 线性相关，矩阵列降秩，则方程组有无穷多解。

解的性质

若 $η_{1}, η_{2}, η$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的解， $ξ$ 是对应齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解，则：

① $η_{1} - η_{2}$ 是 $A x = 0$ 的通解。

② $k ξ + η$ 是 $A x = b$ 的解。

💻 计算机专业视角

「通解 = 特解 + 齐次通解」是线性系统的叠加原理。这跟线性微分方程、信号系统的「零状态响应 + 零输入响应」是同一个思想：特解 $η$ 给出一个具体落点，齐次通解 $k_{1} ξ_{1} + \dots$ 描述了所有「不改变 $b$ 的自由移动方向」。在最小二乘里，当 $A$ 列不满秩、最优解不唯一时，所有最优解也正好构成「某个特解 + 零空间」这种平移仿射集合，工程上常用最小范数解（伪逆 $A^{+} b$ ）来从中挑一个。

🌱 大一新生提示

求非齐次解分两步走，别想一口吃成。第一步：把右边的 $b$ 暂时换成 $0$ ，解出齐次通解（带自由系数 $k$ 的那部分）；第二步：随便找一个能满足原方程的具体解 $η$ （叫特解，常令自由变量为 0 来简化计算）。两步加起来就是全部解。注意：通解里的向量可以整体乘个数（它表示方向），但特解不行（它是一个确定的点）。

求解过程

将系数矩阵和常数项矩阵合并为一个增广矩阵，对增广矩阵进行行变换变为阶梯形矩阵，求出对应齐次线性方程组的通解，最后假设一个非齐次线性方程组的特解。

写出 $A x = b$ 的导出方程组 $A x = 0$ 并求出其通解 $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}$ 。
求出 $A x = b$ 的一个特解 $η$ 。
$A x = b$ 的通解为 $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r} + η$ 。

例题：求非齐次线性方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} - x_{4} = - 1 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 3 3 x_{1} + 8 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 1 x_{1} - 9 x_{2} + 3 x_{3} + 7 x_{4} = 7$ 的通解。

解：对方程组提取出增广矩阵并进行行变换：

$1131 5 - 2 8 - 9 - 1 1 - 1 3 - 1 317 - 1 317 = 1000 5 - 7 00 - 1 200 - 1 400 - 1 400$ 。

然后求齐次方程的通解：找两列作为子矩阵，如 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{3}$ ， $x_{4}$ 作为自由变量，设两个 $ξ_{1} = (ξ_{11}, ξ_{12}, 1, 0)^{T}$ 和 $ξ_{2} = (ξ_{21}, ξ_{22}, 0, 1)^{T}$ 。

解得 $ξ_{1} = (- 3, 2, 7, 0)^{T}$ ， $ξ_{2} = (- 13, 4, 0, 7)^{T}$ （为了得到整数通解都乘了7）。

通解为 $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} = k_{1} (- 3, 2, 7, 0)^{T} + k_{2} (- 13, 4, 0, 7)^{T}$ 。

然后求其非齐次的特解，让两个自由变量为0减少计算，即 $η = (η_{1}, η_{2}, 0, 0)^{T}$ 代入方程得到 $η = (\frac{13}{7}, - \frac{4}{7}, 0, 0)^{T}$ 。

所以通解为 $k_{1} (- 3, 2, 7, 0)^{T} + k_{2} (- 13, 4, 0, 7)^{T} + (\frac{13}{7}, - \frac{4}{7}, 0, 0)^{T}$ 。

注意：通解的向量可以同乘一个数，因为其表示的是一个关系而不是具体数，但是特解不能同乘一个数，因为其表示的是一个具体的数。

克拉默法则

克拉默法则本来是矩阵中的运算法则，但是与方程组有更密切的关系，所以放到线性方程组中。

定理：若 $A x = b$ 的系数矩阵 $A$ 的行列式 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，则方程有唯一解，且 $x_{i} = \frac{∣ A _{i} ∣}{∣ A ∣}$ ，其中 $A_{i}$ 为把系数矩阵 $A$ 的第 $i$ 列的元素用方程组右侧的常数项代替后所得到的 $n$ 阶矩阵。

💻 计算机专业视角

克拉默法则理论上漂亮，实际计算上千万别用。它需要算 $n + 1$ 个 $n$ 阶行列式，按定义展开是 $O (n! \cdot n)$ ，即便用 LU 算行列式也要 $O (n^{4})$ 量级，远慢于高斯消元的 $O (n^{3})$ ，而且数值稳定性差。所以它的价值在于理论推导（比如证明解对参数的连续/可微依赖、给出解的闭式表达），真正写代码解方程时一律用消元 / 分解。

🌱 大一新生提示

克拉默法则只在「方阵且行列式非零」时能用。用法很机械：分母固定是 $∣ A ∣$ ，求第 $i$ 个未知数就把 $A$ 的第 $i$ 列换成常数列 $b$ ，算出新行列式当分子。前提 $∣ A ∣ \neq = 0$ 等价于「唯一解」。一旦 $∣ A ∣ = 0$ 这个公式直接失效，必须回去用增广矩阵 + 秩来判断是无解还是无穷多解。

抽象线性方程

解的判定

$A x = 0$ ，总有解，至少有零解。

$A_{m \times n} x = 0$ ，当 $r (A) = n$ 时，只有零解；当 $r (A) < n$ 时，无穷多解。

$A_{m \times n} x = b$ 时，当 $r (A) = r ([A, b]) + 1 \neq = r ([A, b])$ 时，无解；当 $r (A) = r ([A, b]) = n$ 时，有唯一解；当 $r (A) = r ([A, b]) = r < n$ 时，无穷多解。

当 $A x = 0$ 只有零解时， $r (A) = n$ ，当 $A x = 0$ 有无穷多解时， $r (A) = r < n$ ，都不能判定 $r (A)$ 与 $r ([A, b])$ 的关系，若以 $A x = b$ 可能有解也可能无解。

当 $A x = b$ 有唯一解时， $r (A) = r ([A, b]) = n$ ，所以 $A x = 0$ 列满秩，只有零解。

当 $A x = b$ 有无穷多解时， $r (A) = r ([A, b]) = r < n$ ，则 $A x = 0$ 有无穷多解。

当 $A$ 行满秩，则 $r (A) = r ([A, b])$ ，则 $A x = β$ 必有解，因为原来无关，延长无关。

所以已知非齐次解情况能推出齐次解情况，但是反之不能。

解的性质

非齐次通解=齐次的通解+非齐次一个特解。

例题： $r (A_{4 \times 4}) = 2$ ， $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 为 $A x = b$ 的三个解向量，其中具有如下关系：

$⎩ ⎨ ⎧ η_{1} - η_{2} = (- 1, 0, 3, - 4)^{T} η_{1} + η_{2} = (3, 2, 1, - 2)^{T} η_{3} + 2 η_{2} = (5, 1, 0, 3)^{T}$ ，求 $A x = b$ 的通解。

解： $s = n - r (A) = 4 - 2 = 2$ ，所以通解的基础解系中有两个分量 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 。

所以需要解 $A x = 0$ ，又存在三个解向量，所以 $A η_{1} = A η_{2} = A η_{3} = b$ ，所以 $A (η_{1} - η_{2}) = 0$ ，所以 $η_{1} - η_{2} = (- 1, 0, 3, - 4)^{T}$ 就是其中一个解，所以令 $ξ_{1} = η_{1} - η_{2} = (- 1, 0, 3, - 4)^{T}$ 。

然后根据所给出的 $η$ 进行凑， $A (η_{1} + η_{2}) = 2 b = A (3, 2, 1, - 2)^{T}$ ， $A (η_{3} + 2 η_{2}) = 3 b = A (5, 1, 0, 3)^{T}$ 。所以 $3 A (η_{1} + η_{2}) - 2 A (η_{3} + 2 η_{2}) = 0$ ，所以 $A (3 (η_{1} + η_{2}) - 2 (η_{3} + 2 η_{2})) = 0$ ，所以令 $ξ_{2} = 3 (η_{1} + η_{2}) - 2 (η_{3} + 2 η_{2}) = (- 1, 4, 3, - 12)^{T}$ 。

最后找一个特解， $∵ A (η_{1} + η_{2}) = 2 b$ ， $∴ A (\frac{η _{1} + η _{2}}{2}) = b$ ， $\frac{η _{1} + η _{2}}{2} = (\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2}, - 1)^{T}$ 就是一个特解。

所以通解为 $k_{1} (- 1, 0, 3, - 4)^{T} + k_{2} (- 1, 4, 3, - 12)^{T} + (\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2}, - 1)^{T}$

基础解系

对于 $A_{m \times n} x = 0$ ， $r (A) = r$ ，若向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 满足：① $A α_{i} = 0$ ， $i = 1, 2, \dots, s$ ；② $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关；③ $s = n - r$ ，则称 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 为 $A x = 0$ 的基础解系。

例题：设 $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 是方程组 $A x = 0$ 的基础解系，则下列向量组也是方程组 $A x = 0$ 的基础解系的是()。

$A . ξ_{1} - ξ_{2}$ ， $ξ_{2} - ξ_{3}$ ， $ξ_{3} - ξ_{1}$ $B . ξ_{1} + ξ_{2}$ ， $ξ_{2} - ξ_{3}$ ， $ξ_{3} + ξ_{1}$

$C . ξ_{1} + ξ_{2} - ξ_{3}$ ， $ξ_{1} + 2 ξ_{2} + ξ_{3}$ ， $2 ξ_{1} + 3 ξ_{2}$ $D . ξ_{1} + ξ_{2}$ ， $ξ_{2} + ξ_{3}$ ， $ξ_{3} + ξ_{1}$

解：需要判断基础解系是否线性无关，需要对应的行列式值非0。

对于 $D$ ： $(ξ_{1} + ξ_{2}$ ， $ξ_{2} + ξ_{3}$ ， $ξ_{3} + ξ_{1}) = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) 110011101 \neq = 0$ ，所以 $D$ 线性无关，从而为基础解系。

例题：设 $ξ_{1} = [1, - 2, 3, 1]^{T}$ ， $ξ_{2} = [2, 0, 5, - 2]^{T}$ 是齐次线性方程组 $A_{3 \times 4} x = 0$ 的解，且 $r (A) = 2$ ，则下列向量中是其解向量的是()。

$A . α_{1} = [1, - 2, 3, 2]^{T}$ $B . α_{2} = [0, 0.5, - 2]^{T}$

$C . α_{3} = [- 1, - 6, - 1, 7]^{T}$ $D . α_{4} = [1, 6, 1, 6]^{T}$

解：若 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 为 $A x = 0$ 的基，所以 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 应该能表示其解向量。

所以将 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 与 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 分别联立为矩阵，进行初等行变换，查看是否有解，即新增广矩阵必须秩为2。

$A B D$ 选项增广矩阵的秩都为3，所以不能表示，而只有 $C$ 的为2，所以 $C$ 可以表示。

系数矩阵列向量与解

对于齐次方程而言，其解是让 $A$ 的线性组合为零向量时线性组合的系数，对于非齐次而言解是 $b$ 由 $A$ 线性表出的表出系数。

所以方程的解就是描述列向量组之间数量关心的系数。

例题：已知 $A = [α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}]$ ，其中 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 是四维列向量，且 $α_{1} = 2 α_{2} + α_{3}$ ， $r (A) = 3$ ，若 $β = α_{1} + 2 α_{2} + 3 α_{3} + 4 α_{4}$ ，求线性方程组 $A x = β$ 的通解。

解： $∵ α_{1} = 2 α_{2} + α_{3}$ ， $1 α_{1} - 2 α_{2} - 1 α_{3} + 0 α_{4} = 0$ ，即 $A (1, - 2, - 1, 0)^{T} = 0$ 。

又 $r (A_{4 \times 4}) = 4$ ， $s = n - r (A) = 4 - 3 = 1$ ， $∴ ξ = (1, - 2, - 1, 0)^{T}$ 。

所以特解为 $β$ 的系数： $(1, 2, 3, 4)^{T}$ ，通解为 $k (1, - 2, - 1, 0)^{T} + (1, 2, 3, 4)^{T}$ 。

公共解

待定系数法

求两个方程组解的交集部分。可以联立两个方程求解。
求出 $A_{m \times n} x = 0$ 的通解 $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s} ξ_{s}$ ，这些 $k$ 本来是独立的，然后代入 $B_{m \times n} x = 0$ ，求出 $k_{i} (i = 1, 2, \dots, s)$ 之间的关系，再代回 $A_{m \times n} x = 0$ 的通解中就得到公共解。
给出 $A_{m \times n} x = 0$ 的通解与 $B_{m \times n} x = 0$ 的通解联立： $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s} ξ_{s} = l_{1} η_{1} + l_{2} η_{2} + \dots + l_{s} η_{s} = 0$ ，能解出 $k_{i}$ 和 $l_{i}$ 。

这种方法可以求出公共解，不过比较麻烦。

如果已经给出原方程的基础解系而没有给出矩阵，则这个方法解出公共解较好。

例题：已知线性方程组 $A = {x_{1} + x_{2} = 0 x_{2} - x_{4} = 0$ ， $B = {x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0$ ，求方程组的公共解。

解： $A = (101100 0 - 1)$ ， $B = (10 - 1 1 1 - 1 01)$ 。

两个秩都为2，选择前两个分量为基子矩阵，后两个为通解分量。

$ξ_{1} = (0, 0, 1, 0)^{T}$ ， $ξ_{2} = (- 1, 1, 0, 1)^{T}$ ， $η_{1} = (0, 1, 1, 0)^{T}$ ， $η_{2} = (- 1, - 1, 0, 1)^{T}$ 。

$k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} = k_{1} (0, 0, 1, 0)^{T} + k_{2} (- 1, 1, 0, 1)^{T} = (- k_{2}, k_{2}, k_{1}, k_{2})^{T}$ 。

$l_{1} η_{1} + l_{2} η_{2} = l_{1} (0, 1, 1, 0)^{T} + l_{2} (- 1, - 1, 0, 1)^{T} = (- l_{2}, l_{1} - l_{2}, l_{1}, l_{2})^{T}$ 。

令 $(- k_{2}, k_{2}, k_{1}, k_{2})^{T} = (- l_{2}, l_{1} - l_{2}, l_{1}, l_{2})^{T}$ ，所以解得 $2 k_{2} = k_{1}$ 。

公共解为 $(- k_{2}, k_{2}, 2 k_{2}, k_{2})^{T} = k_{2} (- 1, 1, 2, 1)^{T}$ 。

矩阵法

要求 $A$ 和 $B$ 的非零公共解，即求联立矩阵 $(A B) x = 0$ 的非零解。对这个矩阵求出基础解系。

如果直接给出矩阵，则这种方法可以不用求出基础解系就能得到公共解。

同解

性质

若 $A_{m \times n} x = 0$ 和 $B_{s \times n} x = 0$ 有完全相同的解，就是同解方程组。

$∴ r (A) = r (B) = r ([A, B]^{T})$ 。即行向量组等价。

$A$ 与 $A^{T} A$ 同解。

💻 计算机专业视角

$A^{T} A x = 0$ 与 $A x = 0$ 同解，是最小二乘正规方程的理论基石。解超定方程 $A x = b$ （无精确解）时，最小二乘把它转成正规方程 $A^{T} A x = A^{T} b$ 。这里 $A^{T} A$ 对称半正定；当 $A$ 列满秩时 $A^{T} A$ 可逆，最小二乘解唯一，即线性回归的闭式解 $\overset{x}{^} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} b$ 。 $r (A) = r (A^{T} A)$ 这个等式正好保证了「 $A$ 列满秩 $\Leftrightarrow A^{T} A$ 可逆」，所以特征列不冗余时回归参数才可辨识。

🌱 大一新生提示

「同解」就是两个方程组的解集一模一样。判断技巧：如果方程组 $B$ 是在 $A$ 基础上多加了方程，那 $B$ 的解一定是 $A$ 解的子集，只要再验证 $A$ 的通解也满足新加的方程，就能定参数让两者同解。证明 $A x = 0$ 与 $A^{T} A x = 0$ 同解的关键一步是 $η^{T} A^{T} A η = ∥ A η ∥^{2} = 0 \Rightarrow A η = 0$ ——向量长度为 0 必是零向量，这个小技巧要记住。

代入法

先求一个方程组的通解，然后把这个通解代入到第二个方程组中，不用管 $k$ 的取值（因为 $k$ 为任意数，所以直接令其为0）直接求出对应参数。

例题：线性方程组 $A = ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 3 x_{3} + 5 x_{4} = 0 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 0$ ，在其基础上加一个方程 $B = ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 3 x_{3} + 5 x_{4} = 0 x_{1} - x_{2} - 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 0 4 x_{4} + a x_{2} + b x_{3} + 13 x_{4} = 0$ ， $ab$ 满足什么条件， $A B$ 是同解方程组。

解： $B$ 在 $A$ 的基础上增加一个方程，即多增加了约束，从而 $B$ 的解一定为 $A$ 的解的子集。所以只要 $A$ 的解也满足 $B$ 的解就是同解方程组。

$A = 100 0 - 1 0 3 - 5 0 5 - 3 - 4$ ， $s = n - r = 4 - 3 = 1$ ， $ξ = (- 3, - 5, 1, 0)^{T}$ ， $k ξ = k (- 3, - 5, 1, 0)^{T} = (- 3 k, - 5 k, k, 0)^{T}$ 。

所以这个对于 $B$ 而言必然满足前三行，若要整体满足，就也要满足 $B$ 的第四行，所以直接代入第四行： $4 (- 3 k) + a (- 5 k) + bk + 0 = k (- 12 - 5 a + b) = 0$ 。

又 $k$ 为任意数，所以 $- 12 - 5 a + b = 0$ ，即 $b = 5 a + 12$ 。

例题：设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵， $A^{T}$ 是 $A$ 的转置矩阵，证明方程组 $Λ : A x = 0$ 和 $Υ : A^{T} A x = 0$ 是同解方程组。

证明：若 $γ$ 为 $Λ$ 的唯一解，则 $A γ = 0$ ，则 $A^{T} A γ = A^{T} 0 = 0$ ， $∴ γ$ 也为 $Υ$ 的解。

若 $η$ 为 $Υ$ 的唯一解，则 $A^{T} A η = 0$ ， $η^{T} A^{T} A η = (A η)^{T} A η = ∥ A η ∥^{2} = 0$ ，所以 $A η = 0$ ，从而 $η$ 也为 $Λ$ 的解。

所以同解，所以其两个矩阵的基解等价。

定理： $r (A) = r (A^{T}) = r (A^{T} A) = r (A A^{T})$ 。

线性方程组 ​

基本概念 ​

线性方程组与矩阵 ​

矩阵乘法与线性变换 ​

线性方程组的解 ​

线性方程组的矩阵解表示 ​

具体线性方程 ​

齐次方程组 ​

有解条件 ​

解的性质 ​

解的结构 ​

求解过程 ​

非齐次方程组 ​

有解条件 ​

解的性质 ​

求解过程 ​

克拉默法则 ​

抽象线性方程 ​

解的判定 ​

解的性质 ​

基础解系 ​

系数矩阵列向量与解 ​

公共解 ​

待定系数法 ​

矩阵法 ​

同解 ​

性质 ​

代入法 ​

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