行列式

行列式概念

低阶行列式

若对于一个一阶行列式，就是$|a_{11}|$来表示，这个就是一个数。

若要解一个二元一次方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1(1)\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2(2)\end{array}$

则利用$(1)\times b_2-(2)\times b_1=(a_1{b}_2-a_2{b}_1)x=c_1{b}_2-c_2{b}_1$。

$(1)\times a_2-(2)\times a_1=(a_2{b}_1-a_1{b}_2)y=c_1{a}_2-c_2{a}_1$。

根据系数形式可以得到一个二阶行列式：

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$。

而二阶行列式的几何意义是指由两个二维向量组成的，结果为这两个向量为邻边的平行四边形的面积。行列式的一行或一列就是一个向量。

同理解三元一次方程组可得三阶行列式：

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}+a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$。

三阶行列式的几何意义就是由三个向量为邻边所构成的平行六面体的体积。

行列式是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和。

💻 计算机专业视角

行列式的几何本质就是「体积缩放因子」，这是它在图形学和机器学习里无处不在的原因。把矩阵看成一个线性变换，行列式 $\det A$ 就是这个变换把单位正方形（二维）/单位立方体（三维）的面积/体积放大的倍数：二维对应平行四边形面积，三维对应平行六面体体积。$\det A=0$ 意味着体积被压扁成 0，变换把空间降了维（不可逆）。多元微积分里换元积分的雅可比行列式 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$、概率里多维正态分布密度中的 $|\Sigma |$，本质都是这个体积因子。

🌱 大一新生提示

一句话：行列式是「一个数」，不是一个表格。那一堆竖线 $|\cdot |$ 框起来的方阵，按规则算完最后得到的就是一个具体数字。二阶 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$ 是「主对角线乘积减副对角线乘积」，三阶可以用对角线法则。它的几何意义很直观：二阶是两个向量张成的平行四边形面积，三阶是三个向量张成的平行六面体体积——所以「体积为 0」就对应「向量挤在一起、线性相关」。

横排为行，竖排为列，数$a_{ij}$为元素或元，第一个下标$i$为行标，第二个下标$j$为列标。

对角线法则定义：二阶三阶行列式的值就是所有左对角线的值减去所有右对角线的值。

排列、逆序、逆序数

由$1,2,\cdots ,n$任意组成的有序数组称为一个$n$阶排列（全排列），通常用$j_1{j}_2\cdots j_n$表示$n$阶排列。如9 5 4 7就是一个4阶排列。

一个排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面，就称为这两个数构成一个逆序。如9 5 4 7的9和4就构成一个逆序。

定义：一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用$\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$表示排列$j_1{j}_2\cdots j_n$的逆序数。如9 5 4 7有逆序9-5，9-4，9-7，5-4四个逆序，逆序数为4。

若一个排列的逆序数是偶数，则这个排列是偶排列，否则称为奇排列。如9 5 4 7是偶排列。

若是1 2 $\cdots$ n按序排列，称为这个排列为自然排列，逆序数为0，是偶排列。

定义：将任意两个元素对调，其他元素不动就是对换，若这两个元素相邻则是相邻对换。

定理：一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性变化。

定理：奇排列对换成标准排列（一般为自然排列）的对换次数为奇数，偶排列的对换次数为偶数。

💻 计算机专业视角

逆序数其实就是排序算法里的「逆序对」（inversions），还是衡量数组乱序程度的标准指标。给一个排列数它有多少对前大后小，就是逆序数；冒泡排序需要交换的次数恰好等于逆序数。暴力数逆序对是 $O(n^2)$，而用归并排序的分治思想可以在 $O(n\log n)$ 内统计出来——这是算法竞赛和面试的经典题。排列的「奇偶性」对应数学里的置换符号 $\mathrm{sgn}$，它在行列式定义、群论、以及张量的反对称性里都是核心概念。

🌱 大一新生提示

数逆序数的方法：从左到右，看每个数后面有几个比它小的，全部加起来。比如排列 9 5 4 7：9 后面有 5、4、7 三个比它小，5 后面有 4 一个，4 后面没有，7 后面没有，总共 $3+1=4$ 个逆序，逆序数是 4。逆序数是偶数叫偶排列、奇数叫奇排列。每做一次「对换」（交换两个数）奇偶性就翻转一次——这正是后面行列式每一项前面 $(-1{)}^{\tau }$ 正负号的来源。

n阶行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$。

即在$n$行每一行都取一个不同于之前取的列的数相乘，把所有的乘积相加起来，其每个项的正负号由其列号序列的逆序数决定。一共有$n!$个项相加减。

从几何意义来看就是由$n$个$n$维向量：

${\alpha }_1=[a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}]$，${\alpha }_2=[a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n}]$，$\cdots$，${\alpha }_n=[a_{n1},a_{n2},\cdots ,a_{nn}]$为邻边的$n$维图形体积。

从而行列式的值$D$，若$D\ne 0$则行列式的三个向量称为线性无关，体积就不是0，否则线性相关，即两条线重叠，体积为0。

💻 计算机专业视角

千万别按这个 $n!$ 项的定义去写代码算行列式——那是 $O(n!)$，$n=20$ 就要算上亿亿次。定义式有用的是「理解」而非「计算」。实际中 NumPy 的 np.linalg.det 用的是 LU 分解：先把矩阵高斯消元化成上三角，再把对角线元素连乘（带上行交换的符号），复杂度只有 $O(n^3)$。这也是为什么后面「上三角行列式 = 对角线乘积」这条性质如此关键——它正是数值算法落地的那一步。浮点下还会出现下溢，所以工程上常算 $\log |\det |$（slogdet）而不是 $\det$ 本身。

🌱 大一新生提示

这个吓人的求和公式在说一件事：每次从每一行各挑一个数，但要求挑的这些数「不同行也不同列」，乘起来，再带个正负号，最后全部加总。"不同行不同列" 保证了一共有 $n!$ 种挑法（第一行 $n$ 选 1、第二行剩 $n-1$ 选 1……）。正负号 $(-1{)}^{\tau }$ 由所挑列号排成的逆序数决定。二阶（$2!=2$ 项）就是 $ad-bc$，三阶（$3!=6$ 项）就是对角线法则——公式只是把它推广到任意 $n$ 阶。

特殊行列式

主对角线行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & \ddots & \cdots & a_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ a_{21}& \ddots & & \\ ⋮& \cdots & \ddots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}\cdots a_{nn}$

上三角行列式：包括主对角线的右上部分元素不全为0，左下部分元素全为0。

下三角行列式：包括主对角线的左下部分元素不全为0，右上部分元素全为0。

对角行列式：省略号处的元素不全为0，其他主对角线外的元素全为0。

💻 计算机专业视角

「三角行列式 = 主对角线元素连乘」就是数值线性代数里所有行列式/解方程算法的终点。高斯消元（等价于 LU 分解）把任意矩阵化成上三角 $U$ 后，$\det A=\pm \prod U_{ii}$，符号由消元过程中的行交换次数决定。同理解线性方程组、求逆也都先化三角再回代。记住这条，你就明白为什么计算机偏爱三角结构：它把一个 $O(n!)$ 的问题降到了 $O(n^3)$。

🌱 大一新生提示

三角行列式（上三角、下三角、对角）有个超好用的速算结论：直接把主对角线上的元素乘起来就是答案，三角区域里那一堆数完全不用管。比如一个上三角行列式，左下角全是 0，值就等于左上到右下那条对角线元素的乘积。原因从定义看：要「不同行不同列」地选数又要避开所有的 0，唯一选得出非零乘积的方式就是全取对角线。这是把复杂行列式「化简成三角再算」这一核心套路的基础。

副对角线行列式

$\left|\begin{array}{cccc}& & & a_{1n}\\ & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& a_{2n}\\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ a_{n1}& & & \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}& & & a_{1n}\\ & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ a_{n1}& & & \end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}\cdots a_{n1}$

可以从第$n$行开始向上相邻对换$n-1$次到达第$1$层，依此类推，反下三角可以对换成上三角行列式，对换次数为$(n-1),(n-2),\cdots ,1$一共$\frac{n(n-1)}{2}$次，反上三角行列式也同理。

范德蒙德行列式

$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ \cdots & \cdots & ⋮& \cdots \\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|$

范德蒙德行列式：元素连乘，结果为$\prod _{1⩽j<i⩽n}(a_i-a_j)$。 若一个四阶范德蒙德行列式的结果为$(a_4-a_1)(a_4-a_2)(a_4-a_3)(a_3-a_1)(a_3-a_2)(a_2-a_1)$。

若一个范德蒙德行列式不等于0，则其每个元素$a_1{a}_2\cdots a_n$两两不等。

爪形行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \ddots & & \\ ⋮& & \ddots & \\ a_{n1}& & & a_{nn}\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & a_{1n}\\ a_{21}& & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ ⋮& {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & a_{1n}\\ & \ddots & & a_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$，

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& a_{2n}\\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & ⋮\\ a_{n1}& & & a_{nn}\end{array}\right|$。

分块行列式

$\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ \ast & B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$。

行列式性质

拉普拉斯法则定义：$A_{n\times n}$，$B_{n\times n}$，则$|AB|=|A|\cdot |B|$。

若对于行列式$A$，将$a_{ij}$和$a_{ji}$的元素互换位置得到$A^T$，则其就是$A$的转置行列式。

定理：转置行列式与其行列式相等，即$|A|=|A^T|$。

定理：对调行列式的任意两行或两列，行列式变号。

定理：若行列式中有两行或两列元素完全相同，则此行列式等于0。

定理：行列式中如果有两行或两列元素成比例，则此行列式等于0。

定理：行列式的某一行或某一列中所有的元素都乘以同一个数$k$，则等于用$k$乘此行列式。行列式中某一行或一列的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。

即$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & k{a}_{1i}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & k{a}_{2i}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & k{a}_{ni}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1i}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{ni}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$。

定理：某一行列的元素是两数之和$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}+a_{j1}& a_{i2}+a_{j2}& \cdots & a_{in}+a_{jn}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$，

则$=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

定理：把行列式的某一行或某一列的个元素乘以同一个数然后加到另一行或一列对应元素上去，行列式不变。

💻 计算机专业视角

这一组性质正是高斯消元的「记账规则」，也是 $\det (AB)=\det A\det B$ 背后的几何直觉。高斯消元用到三种行变换，它们对行列式的影响刚好对应这里的定理：①「某行乘以 $k$」会让行列式乘 $k$；②「两行对换」会让行列式变号（所以代码里要记录交换次数的奇偶来定符号）；③「某行的倍数加到另一行」行列式不变——这条是消元主力，正因为它不改变行列式，才能放心地把矩阵化成三角再读对角线。而拉普拉斯法则 $|AB|=|A|\cdot |B|$ 从几何上看就是「两次线性变换复合，总的体积缩放倍数等于各自缩放倍数相乘」。

🌱 大一新生提示

这些性质不用死记，抓住一句话：行列式衡量的是「体积」，所以任何让向量变得更线性相关的操作都会把它推向 0。两行成比例或完全相同 $\Rightarrow$ 向量共线、体积为 0 $\Rightarrow$ 行列式为 0；交换两行相当于把图形翻个面，所以变号；某行加上另一行的倍数（「错切」）不改变体积，所以行列式不变。转置 $|A|=|A^T|$ 说明行和列的地位完全对称——凡是对「行」成立的性质，对「列」也照样成立。

行列式展开

余子式

$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

定义：$\forall a_{ij}$，$D$中划去$i$行，$j$列余下元素而成的$n-1$阶行列式记为$M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的余子式。

余子式$a_{ij}$只与$ij$即位置有关，与$a_{ij}$大小无关。

代数余子式

令$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，其就是$a_{ij}$的代数余子式。

定理：若一个$n$阶行列式，若其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都是零，则行列式值$D=a_{ij}{A}_{ij}$。

展开公式

定义：行列式等于其任一行或列的各元素与对应的代数余子式乘积之和。即$D=a_{i1}{A}_{i1}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$或$D=a_{1j}{A}_{1j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$。

定理：若元素与不对应的代数余子式乘积之和必然为0。即$a_{i1}{A}_{k1}+\cdots +a_{in}{A}_{kn}=0$。

💻 计算机专业视角

按行/列展开是一种「递归」算法：$n$ 阶行列式拆成 $n$ 个 $n-1$ 阶子行列式，正是分治的雏形。不过纯递归展开的复杂度仍是 $O(n!)$，所以实战还是用 LU 分解；展开公式的真正价值在理论与符号推导上。代数余子式更直接的用途是构造伴随矩阵 $A^{\ast }$（各元素的代数余子式转置排列），它给出了求逆的闭式公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$。这个公式（克拉默法则同源）在低维、符号计算、以及推导导数时很方便，但数值计算中因为代价高、稳定性差，一律让位给消元法。「元素与不对应代数余子式乘积之和为 0」这条，正是伴随矩阵能凑出单位阵 $A{A}^{\ast }=|A|E$ 的关键。

🌱 大一新生提示

分清两个词：「余子式」$M_{ij}$ 是划掉第 $i$ 行第 $j$ 列后剩下的那个小行列式；「代数余子式」$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ 只是在余子式前面按棋盘格补一个正负号。那个 $(-1{)}^{i+j}$ 的符号像国际象棋棋盘：$(1,1)$ 是 $+$、相邻格子交替变号。「按某一行展开」就是把这一行每个元素乘上它自己的代数余子式再相加——挑含 0 最多的那一行展开最省事，因为乘到 0 的项直接消失。