线性方程组

基础解系

方程求通解

通解求通解

题目给出${\xi }_i$是$Ax=0$的基础解系，然后判断这几个基础解系的变式是否还能称为基础解系，判断条件就是对这些基础解析进行初等运算（往往是加减），如果最后能凑成0则代表其线性相关，所以不能成为基础解系，否则可以。

如${\xi }_1+{\xi }_2$、${\xi }_2+x_3$、${\xi }_3+{\xi }_1$可以成为，因为$({\xi }_1+{\xi }_2)-({\xi }_2+x_3)+({\xi }_3+{\xi }_1)=2{\xi }_1\ne 0$，${\xi }_1-{\xi }_2$、${\xi }_2-x_3$、${\xi }_3-{\xi }_1$不能成为，因为$({\xi }_1-{\xi }_2)+({\xi }_2-x_3)+({\xi }_3-{\xi }_1)=0$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：基础解系就是齐次方程组 $Ax=0$ 全部解的「骨架」——任意一个解都能由这几个向量线性组合出来，所以个数恰好等于自由变量个数 $n-r(A)$。判断「变式还是不是基础解系」，本质是看新的一组向量是否仍然线性无关：能凑出 $0$ 就相关、被淘汰。

💻 计算机专业视角

引导句：求 $Ax=0$ 的解空间，就是求矩阵的零空间（null space / kernel）。在数值线性代数里它由 SVD 中奇异值为 $0$ 对应的右奇异向量张成；在机器学习中，特征共线（设计矩阵零空间非平凡）会让线性回归的参数不可唯一确定，正则化正是为缩小这种自由度而生。

特解求通解

通解判断特解

已知特解为方程的一个解，知道通解，所以特解可以由通解线性表出，所以将通解和特解组成增广矩阵进行初等变换（如果是判断多个向量，则可以一起组成），通解矩阵的秩和增广矩阵的秩相同则代表可以线性表出，否则不能。

特解判断特解

已知特解，对特解进行初等变换，然后判断这个式子是否还是原方程的特解，可以直接将新式子代入原方程求得结果。

例题：已知${\alpha }_1$、${\alpha }_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同解，则判断$3{\alpha }_1-2{\alpha }_2$是否为原方程的特解。

解：已知${\alpha }_1$、${\alpha }_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同解，即$A{\alpha }_1=b$，$A{\alpha }_2=b$。

代入$Ax=b$：$A(3{\alpha }_1-2{\alpha }_2)=3A{\alpha }_1-2A{\alpha }_2=3b-2b=b$，所以成立。

🌱 大一新生提示

一句话提示：非齐次方程组 $Ax=b$ 的通解 = 一个特解 + 对应齐次方程 $Ax=0$ 的通解。所以「特解的组合还是不是解」只要看系数和是否为 $1$：本题 $3-2=1$，代入后右端仍是 $b$，故仍是解。

💻 计算机专业视角

引导句：$Ax=b$ 的解集是一个仿射子空间（特解平移零空间）。当 $b$ 不在 $A$ 的列空间里时方程无解，工程上改求最小二乘解 $\min \Vert Ax-b\Vert$；当列空间维数不足、解不唯一时，常取范数最小的解（伪逆 $A^{+}b$），这正是 numpy 的 lstsq／pinv 背后的逻辑。

反求参数

基本上都是给出方程组有无穷多解：

• 齐次方程组：系数矩阵是降秩的；行列式值为0。
• 非齐次方程组：系数矩阵与增广矩阵秩相同且降秩。

例题：已知齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}a{x}_1-3x_2+3x_3=0\\ x_1+(a+2)x_2+3x_3=0\\ 2x_1+x_2-x_3=0\end{array}$有无穷多解，求参数$a$。

解：使用矩阵比较麻烦，三阶的系数矩阵可以使用行列式。

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}a& -3& 3\\ 1& a+2& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 3\\ 1& a+5& 3\\ 2& 0& -1\end{array}\right|=(a+5)(a+6)=0$。

解得$a=-5$或$a=-6$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：方阵的齐次方程组「有无穷多解」$⟺$ 系数矩阵降秩 $⟺$ 行列式 $|A|=0$。所以反求参数的套路就是：把行列式（或秩）写成参数的式子，令它等于 $0$（或令秩亏），解出参数即可。

💻 计算机专业视角

引导句：$|A|=0$ 意味着矩阵奇异、不可逆，对应数值计算里「条件数趋于无穷」的病态情形——解对扰动极其敏感。实际做高斯消元/LU 分解时，主元接近 $0$ 就会触发数值不稳定，于是要靠选主元（pivoting）或正则化来回避。

抽象线性方程

求$Ax=B$的解：

1. 求$A$的秩。
2. 求$Ax=0$的基础解系。
3. 求$Ax=\beta$的一个特解。

余子式

例题：设$A$为三阶方阵，$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$，且$a_{ij}=A_{ij}$（$i,j=1,2,3$），其中$A_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，$a_{33}\ne 0$，$b=(a_{13},a_{23},a_{33}{)}^T$，求非齐次线性方程组$Ax=b$的解。

解：由于是抽象线性方程，所以必须要充分利用方程和矩阵的性质。题目中给出的主要是代数余子式，由行列式的一行或一列的元素乘上对应的代数余子式可得行列式值的性质：

$b$为第三列元素，乘上对应的代数余子式得行列式值：$b(A_{13},A_{23},A_{33})=a_{13}{A}_{13}+a_{23}{A}_{23}=a_{13}^2+a_{23}^2+a_{33}^2⩾0$。

又$a_{33}\ne 0$，$\therefore b(A_{13},A_{23},A_{33})=|A|>0$，$r(A)=3$，$Ax=b$解唯一$x=A^{-1}b$。

根据逆矩阵公式$x=A^{-1}b=\frac{A^{\ast }b}{|A|}$，且代数余子式乘上非对应元素值都为0。

$=\frac{1}{|A|}\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{13}\\ a_{23}\\ a_{33}\end{array}\right]=\frac{1}{|A|}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ |A|\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

解的方程

例题：已知四阶方阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$为四维列向量，且${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性无关，若${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$，$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4$，求$Ax=\beta$的通解。

解：由于${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性无关，$r(A)⩾3$，由${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$，$r(A)⩽3$，所以$r(A)=3$。$s=n-r=4-3=1$，所以解向量为一个。

且${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$，整理得${\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3+0{\alpha }_4=0$，即$[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4][1,-2,1,0{]}^T=0$，即$[1,-2,1,0{]}^T$为$Ax=0$的一个通解。

$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4$，即$\beta =[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4][1,1,1,1{]}^T$，即$[1,1,1,1{]}^T$为$Ax=\beta$的一个特解。

所以基础解系为$k[1,-2,1,0{]}^T+[1,1,1,1]$。

例题：已知$4\times 3$矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，非齐次线性方程组$Ax=\beta$的通解为$(1,2,-1{)}^T+k(1,-2,3{)}^T$，$k$为任意常数，令$B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta +{\alpha }_3)$，求方程组$By={\alpha }_1-{\alpha }_2$的通解。

解：首先求对应$A$和$B$的秩。由于$A$的通解的自由变量为一个，即$r(A)=3-1=2$。

由于$Ax=\beta$的通解为$(1,2,-1{)}^T+k(1,-2,3{)}^T$，所以根据解的结构，前面为$Ax=0$的通解，后面为$Ax=\beta$的一个特解。

即${\alpha }_1+2{\alpha }_2-{\alpha }_3=\beta$，${\alpha }_1-2{\alpha }_2+3{\alpha }_3=0$。

然后求$B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2)$，通过线性变换可得$B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,0)$，即$r(B)=r(A)=2$。$s=n-r=2$，即$By={\alpha }_1-{\alpha }_2$有两个自由变量。

由于$A$的一个通解为$(1,-2,3{)}^T$，即${\alpha }_1-2{\alpha }_2+3{\alpha }_3=0$，$B$的前三行跟$A$一样，所以令最后一行为0，即得到一个通解$(1,-2,3,0{)}^T$。

然后根据$B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2)$，令最后一行不为0，即计算得到另一个通解$(-1,-2,0,1{)}^T$。

由于${\alpha }_1-{\alpha }_2$很简单就能看出特解为$(1,-1,0,0{)}^T$。

所以最后通解为$k_1(1,-2,3,0{)}^T+k_2(-1,-2,0,1{)}^T+(1,-1,0,0{)}^T$（$k_1{k}_2$为任意常数）。

🌱 大一新生提示

一句话提示：抽象方程组不给具体数字，全靠秩这把钥匙。记住核心计数公式：自由变量个数 $s=n-r(A)$，它就是基础解系的向量个数。先夹逼出 $r(A)$，再数出有几个自由解、写出特解，通解就拼好了。

💻 计算机专业视角

引导句：秩 $r(A)$ 是矩阵真正独立的信息维数，等于非零奇异值的个数。低秩意味着数据高度冗余——这正是 PCA、推荐系统的矩阵分解、模型压缩里「低秩近似」的出发点：用远少于 $n$ 个的方向就能近似重建整个矩阵。

公共解

联立系数矩阵

如果给出系数矩阵，则即联立两个系数矩阵即得到公共解。

基础解系参数计算

如果只给出了基础解系，则令他们相等，并求出参数。

同解