相似矩阵

特征值与特征向量

首先根据$|\lambda E-A|=0$求出$\lambda$，然后把$\lambda$逐个带入$(\lambda E-A)x=0$，根据齐次方程求解方法进行初等变换求出基础解系。这个基础解系就是当前特征值的特征向量。

🌱 大一新生提示

一句话提示：特征向量是被矩阵 $A$ 作用后「只被拉伸或压缩、方向不变」的特殊向量，拉伸倍数就是特征值 $\lambda$，即 $A\xi =\lambda \xi$。求法两步走：先由特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 解出所有 $\lambda$，再对每个 $\lambda$ 解齐次方程组 $(\lambda E-A)x=0$ 得到对应的特征向量。

💻 计算机专业视角

引导句：特征值/特征向量是无数算法的内核：Google 的 PageRank 求的是转移矩阵的主特征向量，PCA 求的是协方差矩阵的特征向量（即主成分方向），谱聚类、推荐系统、马尔可夫链稳态分布也都建立在此之上。数值上一般不真去解多项式，而用幂迭代或 QR 算法逼近。

代数余子式

例题：已知$A$是3阶方阵，特征值为1，2，3，求$|A|$的元素$a_{11},a_{22},a_{33}$的代数余子式$A_{11},A_{22},A_{33}$的和$\sum _{i=1}^3{A}_{ii}$。

解：首先代数余子式的和$A_{11},A_{22},A_{33}$一般在行列式展开定理中使用，但是这里给出的不是一行或一列的代数余子式，而是主对角线上的代数余子式，这就无法使用代数余子式来表达行列式的值了。

而另一个提到代数余子式的地方就是伴随矩阵$A^{\ast }$，所求的正好是伴随矩阵的迹$tr(A^{\ast })=A_{11}+A_{22}+A_{33}$。

又根据特征值性质，特征值的和为矩阵的迹，特征值的积为矩阵行列式的值，所以$tr(A^{\ast })=A_{11}+A_{22}+A_{33}={\lambda }_1^{\ast }+{\lambda }_2^{\ast }+{\lambda }_3^{\ast }$

$=\sum _{i=1}^3\frac{|A|}{{\lambda }_i}=\sum _{i=1}^3\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3}{{\lambda }_i}={\lambda }_2{\lambda }_3+{\lambda }_1{\lambda }_3+{\lambda }_1{\lambda }_2=2+3+6=11$。

特征值

对应特征向量

通过相关式子将逆矩阵转换为原矩阵。同一个向量的逆矩阵的特征值是原矩阵的特征值的倒数。

例题：已知$\overrightarrow{\alpha }=(a,1,1{)}^T$是矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& a& -2\\ 2& -2& -1\end{array}\right]$的逆矩阵的特征向量，则求$\overrightarrow{\alpha }$在矩阵$A$中对应的特征值。

解：由于$\overrightarrow{\alpha }$是$A^{-1}$的特征向量，所以令此时的特征值为${\lambda }_0$，则定义${\lambda }_0\overrightarrow{\alpha }=A^{-1}\overrightarrow{\alpha }$，${\lambda }_{0}A\overrightarrow{\alpha }=\overrightarrow{\alpha }$。

即${\lambda }_0\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& a& -2\\ 2& -2& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right]$，即${\lambda }_0\left[\begin{array}{ccc}-a& 2& 2\\ 2a& a& -2\\ 2a& -2& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right]$。

即根据矩阵代表的是方程组，得到${\lambda }_0(4-a)=a$，${\lambda }_0(3a-2)=1$，${\lambda }_0(2a-3)=1$。

又${\lambda }_0\ne 0$，$3a-2=2a-3$，$a=-1$，则${\lambda }_0=-\frac{1}{5}$。

所以矩阵$A$对应的特征值为$-5$。

矩阵关系式

例题：已知$A$为3阶矩阵，$A^2+A-2E=0$，$|A|=-2$，求其特征值。

解：需要求$A$特征值，但是$A$未知，特征向量也未知，如何求？

首先要求特征值，就要首先设出特征方程：$A\xi =\lambda \xi$，$\xi \ne 0$。

又$A^2+A-2E=0$，所以代入方程：$(A^2+A-2E)\xi =({\lambda }^2+\lambda -2)\xi =0$。

$\because \xi \ne 0$，${\lambda }^2+\lambda -2=0$，解得$\lambda =-2$或$\lambda =1$。

但是不知道这个特征值各是几重，只知道存在这两种特征值。

又$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=-2$，所以${\lambda }_1=-2$，${\lambda }_2={\lambda }_3=1$。

特征向量

实对称矩阵

使用实对称矩阵性质，给出其他特征向量和特征值，即实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^{T}A=0$）。

例题：已知$A$为三阶实对称矩阵，特征值为$1,3,-2$，其中${\alpha }_1=(1,2,-2{)}^T$，${\alpha }_2=(4,-1,a{)}^T$分别属于特征值$\lambda =1$，$\lambda =3$的特征向量。求$A$属于特征值$\lambda =-2$的特征向量。

解：令$A$属于特征值$\lambda =-2$的特征向量为$(x_1,x_2,x_3{)}^T$。

根据实对称矩阵的正交性质。

${\alpha }_1^T{\alpha }_2=4-2-2a=0$，${\alpha }_2^T{\alpha }_3=4x_1-x_2+a{x}_3=0$，${\alpha }_3^T{\alpha }_1=x_1+2x_2-2x_3=0$。

$a=1$，$4x_1-x_2+x_3=0$，$x_1+2x_2-2x_3=0$，解得基础解系$(0,1,1{)}^T$,${\alpha }_3=(0,k,k{)}^T$（$k\ne 0$）。

可逆矩阵关系

使用可逆矩阵相似对角化的性质。若$A\sim B$，则$P^{-1}AP=B$。$B$为纯量阵。且$B$的迹为$A$的特征值。$P$为特征向量。

例题：已知$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right]$，$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$可逆，求$A$关于特征值$\lambda =1$的特征向量。

解：根据$P^{-1}AP=\Lambda$，所以$P$为特征向量，$1,1,-1$为特征值。

所以$A$关于$\lambda =1$的特征向量为${\alpha }_1$或${\alpha }_2$。而某一特征值的全部特征向量构成特征向量子空间，所以$\lambda =1$的特征向量为$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$。

抽象型

题目只会给对应的式子，来求对应的特征向量。需要记住特征值的关系式然后与给出的式子上靠拢，不会很复杂。

例题：已知$A$为三阶矩阵，且矩阵$A$各行元素之和均为5，则求$A$必然存在的特征向量。

解：由于是抽象型，所以没有实际的数据，就不能求出固定的特征值，$\lambda \xi =A\xi$。

又矩阵$A$各行元素之和均为5，所以转换为方程组：

$\{\begin{array}{l}{A}_{11}+A_{12}+A_{13}=5\\ A_{21}+A_{22}+A_{23}=5\\ A_{31}+A_{32}+A_{33}=5\end{array}$，转为矩阵：$\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=5\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$。

即$\xi =(1,1,1{)}^T$。

矩阵

即根据$A=P\Lambda P^{-1}$的特征向量矩阵和特征值矩阵来反求矩阵。

行列式值

一般会给出特征值，求$A$的行列式值。

特征方程

题目要求$|f(A)-E|$的形式，即求$f(A)$的特征值。

例题：设$A$为三阶矩阵，已知$-3E+A$不可逆，$|2E+A|=0$，$(E-A)x=0$有非零解，求$|A^{\ast }-E|$。

解：前三个条件都是为了指明$|-3E+A|=|3E-A|=0$，$|-2E-A|=0$，$|E-A|=0$，即得到$A$的三个特征值${\lambda }_1=3$、${\lambda }_2=-2$、${\lambda }_3=1$。

求$|A^{\ast }-E|$即求$A^{\ast }$的特征值，然后再乘起来，即得到行列式的值。

又$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$，所以$A^{\ast }=\frac{|A|}{A}$。

$|A|$等于特征值的乘积$-6$，对应的特征值即为${\mu }_1=\frac{-6}{3}=-2$，${\mu }_2=\frac{-6}{-2}=3$，${\mu }_3=\frac{-6}{1}=-6$。

对应$A^{\ast }-E$的特征值为$-3$，$2$，$-6$，所以最后的行列式值为$42$。

矩阵函数

题目要求$|f(A)|$的形式，即求$f(A)$的特征值，然后求其乘积就是矩阵方程的行列式值。

相似理论

$P^{-1}AP=\Lambda$，$P$为特征向量组，$\Lambda$为特征值矩阵。

判断相似对角化

可以使用相似对角化的四个条件，但是最基本的使用还是$A$有$n$个无关的特征向量$\xi$。

判断以下条件即可相似对角化：

1. 实对称矩阵，即所有元素关于主对角线对称。
2. 特征值都是实单根，即$n$个不同特征值，不存在重根。
3. 特征值存在$t$重根，相同特征值对应$t$个线性无关的特征向量。（如果小于$n$则不相似）

一般都是第三种情况，判断存在重根后要使用$[\lambda E-A]$，然后计算$r(E-A)$，然后$s$自由变量值即无关特征向量值$=n-r$，如果$s=t$则可以相似对角化，如果$s<t$则不可以。

🌱 大一新生提示

一句话提示：「相似」$P^{-1}AP=\Lambda$ 的直观含义是：同一个线性变换换一组基（坐标系）来看，长相变了但本质不变，所以相似矩阵的特征值、行列式、迹、秩都相等。能否对角化的关键是特征向量够不够 $n$ 个线性无关——对每个 $t$ 重特征值，要凑齐 $t$ 个无关特征向量（即 $n-r(\lambda E-A)=t$）才行。

💻 计算机专业视角

引导句：对角化本质是「解耦」：在特征基下矩阵变成对角阵，各分量互不干扰，于是 $A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$ 可瞬间算出。这正是马尔可夫链求稳态、线性递推（如斐波那契）闭式解、线性动力系统稳定性判断的标准武器；不可对角化时则退而用 Jordan 标准型或 SVD。

反求参数

常用方法：

• 若$A\sim B$，则$|A|=|B|$，$r(A)=r(B)$，$tr(A)=tr(B)$，${\lambda }_A={\lambda }_B$，通过等式计算参数。
• 若$\xi$是$A$属于特征值$\lambda$的特征向量，则有$A\xi =\lambda \xi$，建立若干等式或方程组来计算参数。
• 若$\lambda$是$A$的特征值，则与$|\lambda E-A|=0$，通过该等式计算参数。

两个矩阵对比

两个矩阵相似的前提是可以相似对角化，如果存在$n$重根而没有$n$个线性无关的特征向量则必然不相似。

例题：已知$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}2& & \\ & y& \\ & & -1\end{array}\right)$，且$A\sim B$，求参数。

首先可以利用迹相等，则$2+0+x=2+y-1$，行列式值相等，则$-2=-2y$，解得$x=0$，$y=1$。

单矩阵

1. 利用$|\lambda E-A|=0$求出特征值。判断得到$n$阶矩阵有$m$个不同特征值。（$m⩽n$）
2. 利用$[\lambda E-A]$计算秩。利用$s=n-r$（自由变量的个数=未知数个数-矩阵秩）公式反解出秩$r$，并以此解出未知数。

例题：已知矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& 2& a\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$和对角矩阵相似，求$a$。

解：由于$A$是对角矩阵，所以特征值为其迹$\lambda =(3,2,3)$。特征值有二重根。

已知$A\sim \Lambda$，$\lambda =3$有两个线性无关的特征向量。即$(3E-A)x=0$有两个线性无关的解（自由变量）。即$r(3E-A)=1$。

$3E-A=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 0& 1& -a\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 0& 0& -a-2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$，$\therefore a=-2$。

抽象型

首先要计算其特征值，再根据特征值反代特征方程，根据向量的构成判定秩的大小。

例题：已知$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ x& 1& y\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$相似于对角矩阵，求$xy$关系式。

解：已知相似，即$P^{-1}AP=\Lambda$，则需要求$A$的特征值和特征向量。

根据特征关系式$|E\lambda -A|=0$，即$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& -1\\ -x& \lambda -1& -y\\ -1& 0& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -1)({\lambda }^2-1)=(\lambda -1{)}^2(\lambda +1)=0$，即有特征值${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，${\lambda }_3=1$。

此时有二重特征值，所以应该有两个线性无关的特征向量，即对于$(E-A)x=0$有两个线性无关的解向量，所以该矩阵的秩为$3-2=1$。

$E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -x& 1& -y\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& -x-y\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。

所以当$r(E-A)=1$时$x+y=0$。

相似矩阵

具体型

$|\lambda E-A|=0$或$(\lambda E-A)x=0$。

抽象型

定义$A\alpha =\lambda \alpha$。

例题：设$A$是三阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是三维线性无关的列向量，且$A{\alpha }_1={\alpha }_2+{\alpha }_3$，$A{\alpha }_2={\alpha }_1+{\alpha }_3$，$A{\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2$，求$A$相似的矩阵。

解：$A\sim \Lambda$，则$P^{-1}AP=\Lambda$。

$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+{\alpha }_3,{\alpha }_1+{\alpha }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$。

记$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$。

又${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是三维线性无关的列向量，$\therefore |{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|\ne 0$，所以$P$可逆。

$\therefore AP=PB$，$P^{-1}AP=B$，$A\sim B$。

特殊矩阵

实对称矩阵

根据实对称矩阵不同特征值的特征向量必然相互正交的性质求解。

一般会给出特征值（全部）和对应的特征向量（部分）。

$Q^{-1}AQ=P$。其中$Q$为特征向量矩阵，一般都是正交的，而$P$为对应的特征值矩阵。

首先要利用不同特征值的特征向量正交的性质，把所有的特征向量都求出来。

然后矩阵$Q$就是所有特征向量的拼合。如果要求原矩阵$A$，则利用$A\xi =\lambda \xi$，推出$AQ=PQ$，从而$A=PQ{Q}^{-1}$。

例题：已知$A$是三阶实对称矩阵，若正交矩阵$Q$使得$Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]$，如果${\alpha }_1=(1,0,-1{)}^T$和${\alpha }_2=(0,1,1{)}^T$是矩阵$A$属于特征值$\lambda =3$的特征向量，求$Q$。

解：首先由正交矩阵就可以知道各特征值正交。令${\alpha }_3=(x_1,x_2,x_3{)}^T$。对应的${\lambda }_3=6$。

${\alpha }_3^T{\alpha }_1=x_1-x_3=0$，${\alpha }_3^T{\alpha }_2=x_2+x_3=0$，求${\lambda }_3$的特征值，则不如令$x_3=1$，则解得${\alpha }_3=(1,-1,1{)}^T$。

这样$Q=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right]$，还需要将$Q$正交单位化。可知${\alpha }_3$根据正交规律求出来，一定是正交的，而${\alpha }_1^T{\alpha }_2=-1\ne 0$所以需要正交。

令${\beta }_1={\alpha }_1=(1,0,-1{)}^T$，${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{<{\alpha }_2,{\beta }_1>}{<{\beta }_1,{\beta }_1>}{\beta }_1=(0,1,1{)}^T+\frac{1}{2}(1,0,-1{)}^T=(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}{)}^T$。

最后对整个$Q$进行单位化：${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^T$，${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^T$，${\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^T$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：实对称矩阵特别「乖」：一定能对角化，而且不同特征值对应的特征向量自动正交。所以这类题先用正交条件 ${\alpha }_i^T{\alpha }_j=0$ 补全缺失的特征向量，再用施密特正交化＋单位化把它们拼成正交矩阵 $Q$，使 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$。

💻 计算机专业视角

引导句：这就是谱定理：实对称矩阵可正交对角化。它是 PCA 的数学保证——协方差矩阵对称，故有一组正交主成分；也是二次型优化、核方法、图拉普拉斯矩阵分析的基石。正交矩阵 $Q$ 保范、数值稳定，是工程上偏爱正交分解（QR、SVD）的根本原因。

爪型矩阵

即类似于爪形行列式，且列数较大，不可能直接计算，所以就需要把常数项提出来。

例题：设$n$（$n⩾2$）阶矩阵$A=\left[\begin{array}{ccccc}a& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& a& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& a& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & a\end{array}\right]$。求可逆矩阵$P$与对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，并求$r(A^{\ast })$。

解：矩阵$A$是个爪形，直接使用$|\lambda E-A|=0$计算特征值非常复杂，所以对其化简：

$A=\left[\begin{array}{cccc}a-1& & & \\ & a-1& & \\ & & \cdots & \\ & & & a-1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]=(a-1)E+B$。

$|\lambda E-B|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -1& -1& \cdots & -1\\ -1& \lambda -1& \cdots & -1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -1& -1& \cdots & \lambda -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -n& \lambda -n& \cdots & \lambda -n\\ -1& \lambda -1& \cdots & -1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -1& -1& \cdots & \lambda -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -n& 0& \cdots & 0\\ -1& \lambda & \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -1& 0& \cdots & \lambda \end{array}\right|=0$，所以${\lambda }_1=n$，${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$。

从而$A$的特征值为$n+a-1$、$a-1$、$\cdots$、$a-1$。

所以根据特征值$(nE-B)x=0$，$x_1=(1,1,\cdots ,1{)}^T$，$(0E-B)x=0$，$x_2=(1,-1,0,\cdots ,0{)}^T$、$x_3=(1,0,-1,\cdots ,0{)}^T$、$\cdots$、$x_n=(1,0,0,\cdots ,-1{)}^T$。

根据特征值和特征向量的性质，$x_i$也是$A$的特征向量。

令$P=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，则$P^{-1}AP=diag(n+(a-1),a-1,\cdots ,a-1)$。

因为$A\sim \Lambda$，所以$|A|=|\Lambda |=(n+a-1)(a-1{)}^n-1$，所以：

$r(A)=\{\begin{array}{ll}n,& a\ne 1-n,a\ne 1\\ n-1,& a=1-n\\ 1,& a=1\end{array}$，所以$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& a\ne 1-n,a\ne 1\\ 1,& a=1-n\\ 0,& a=1\end{array}$。

矩阵关系式

若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，则：

$P$即是$A$特征向量的拼合。

• $A=P\Lambda P^{-1}$。
• $A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$。
• $f(A)=Pf(\Lambda )P^{-1}$。

例题：已知$A=\left(\begin{array}{ccc}2& x& 1\\ 0& 3& 0\\ 3& -6& 0\end{array}\right)$相似于对角矩阵，求$A^{100}$。

解：首先$A\sim \Lambda$，所以$A$能相似对角化。

$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -x& -1\\ 0& \lambda -3& 0\\ -3& 6& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -3{)}^2(\lambda +1)=0$。${\lambda }_1={\lambda }_2=3$，${\lambda }_3=-1$。

所以对于${\lambda }_1={\lambda }_2=3$时，需要$s=2$，从而$r(A)=1$，对应成比例。

代入3：$(3E-A)x=0$，$\left(\begin{array}{ccc}1& -x& -1\\ 0& 0& 0\\ -3& 6& 3\end{array}\right)=0$，所以$\frac{-1}{3}=\frac{-x}{6}$，$x=2$。

解得${\xi }_1=(1,0,1{)}^T$，${\xi }_2=(2,1,0{)}^T$，${\xi }_3=(1,0,-3{)}^T$。

令$P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$，所以$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^{100}=P{\Lambda }^{100}{P}^{-1}$。

🌱 大一新生提示

一句话提示：要算 $A^{100}$ 直接连乘会爆炸，但若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$——中间一堆 $P^{-1}P$ 互相抵消，只剩对角阵求幂（每个对角元各自 $k$ 次方），瞬间搞定。同理多项式 $f(A)=Pf(\Lambda )P^{-1}$。

💻 计算机专业视角

引导句：$A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$ 是把「重复迭代」变成「一次性闭式计算」的关键技巧，对应图论里数 $k$ 步路径数、马尔可夫链 $k$ 步转移概率、线性递推快速求值。把 ${\Lambda }^k$ 换成 $e^{\Lambda t}$ 就得到矩阵指数 $e^{At}$，正是线性常微分方程组 $\dot{x}=Ax$ 的解析解。