向量（习题）

线性相关性

💻 计算机专业视角

引导句：「线性相关 / 无关」就是问：一堆向量里有没有冗余。把向量拼成矩阵，秩 $r$ 小于向量个数就相关（有人能被别人线性表出），等于个数就无关。这正是机器学习里的特征共线性（multicollinearity）——若特征矩阵的列线性相关，回归的法方程 $X^{T}X$ 奇异、参数解不唯一，这也是要做 PCA / 正则化的根本原因。数值上判断「是否相关」从不用行列式是否为 0（病态），而用 SVD 看有几个奇异值显著大于 0，即数值秩。

🌱 大一新生提示

一句话提示：判断向量组线性相关 / 无关，核心就一招：把它们拼成矩阵做初等行变换，数非零行的个数（秩）。秩 = 向量个数 → 无关；秩 < 个数 → 相关。方阵且个数等于维数时可以用行列式偷懒（$\ne 0$ 无关、$=0$ 相关），但个数和维数不等时只能老老实实求秩。证明题则常用「定义法」：设 $k_1{\alpha }_1+\cdots =0$，证明只能全取 0。

使用行列式不等于$0$的方法最方便，但是有时候行列不同就不能这么做了。

初等运算

多用于选择题，给出$n$维线性无关向量，判断向量组是否线性无关。如果向量组初等运算为0就代表线性相关。

例题：已知$n$维向量${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，${\alpha }_3$线性无关，则判断线性相关性：${\alpha }_1+{\alpha }_2$，${\alpha }_2-{\alpha }_3$，${\alpha }_3+{\alpha }_1$。

解：${\alpha }_1+{\alpha }_2$与${\alpha }_2-{\alpha }_3$，共同出现了${\alpha }_2$，首先要消掉${\alpha }_2$，所以相减得到${\alpha }_1+{\alpha }_3$，然后发现跟后面的${\alpha }_3+{\alpha }_1$一样，所以直接一减得到0，表示线性相关。

定义法

基本是证明题，若证明$\alpha$、$\beta$线性无关，则令$k_1\alpha +k_2\beta =0$，判断$k_i$的值，如果只有零解则代表$k$矩阵为满秩，从而线性无关。

代入重组

若要求线性相关的式子由其他向量构成，则将式子代入表示目标式子。

例题：设${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，${\beta }_1$，${\beta }_2$，${\beta }_3$都是$n$维向量，$n⩾3$，且${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2$，${\beta }_2={\alpha }_1-2{\alpha }_2$，${\beta }_3=3\alpha +1+2{\alpha }_2$，证明向量组${\beta }_1$，${\beta }_2$，${\beta }_3$线性相关。

证明：若存在$k_1,k_2,k_3$使得$k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+k_3{\beta }_3=0$。

代入$\alpha$表示$\beta$的式子：$k_1({\alpha }_1+{\alpha }_2)+k_2({\alpha }_1-2{\alpha }_2)+k_3(3{\alpha }_1+2{\alpha }_2)=0$。

$\therefore (k_1+k_2+3k_3){\alpha }_1+(k_1-2k_2+2k_3){\alpha }_2=0$。

$\therefore k_1+k_2+3k_3=0$，且$k_1-2k_2+2k_3=0$即可。

而未知数的个数大于方程个数，所以有无穷多解，从而必然有非零解，从而${\beta }_1$，${\beta }_2$，${\beta }_3$线性相关。

同乘

若要求线性相关的式子存在一定的乘积关系，则可以用同乘一步步消去系数。

例题：设$A$是$n$阶矩阵，若存在正整数$k$，使得线性方程组$A^{k}x=0$有解向量$\alpha$，且$A^{k-1}\alpha \ne 0$，证明向量组$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha$线性无关。

证明：假设$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha$线性相关，则设存在系数${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$使得${\lambda }_1\alpha +{\lambda }_{2}A\alpha +\cdots +{\lambda }_k{A}^{k-1}\alpha =0$。

$\because A^{k}x=0$的解为$\alpha$，$\therefore A^k\alpha =0$，$\therefore \cdots =A^{k+2}\alpha =A^{k+1}\alpha =A^k\alpha =0$。

左乘$A^{k-1}$，得到${\lambda }_1{A}^{k-1}\alpha +{\lambda }_2{A}^k\alpha +\cdots +{\lambda }_k{A}^{2k-2}\alpha ={\lambda }_1{A}^{k-1}\alpha =0$。

$\because A^{k-1}\alpha \ne 0$，$\therefore {\lambda }_1=0$，消去${\lambda }_1$：${\lambda }_{2}A\alpha +{\lambda }_3{A}^2\alpha +\cdots +{\lambda }_k{A}^{k-1}\alpha =0$。

左乘$A^{k-2}$，得到${\lambda }_2{A}^{k-1}\alpha +{\lambda }_3{A}^k\alpha +\cdots +{\lambda }_k{A}^{2k-3}\alpha ={\lambda }_2{A}^{k-1}\alpha =0$。

$\because A^{k-1}\alpha \ne 0$，$\therefore {\lambda }_2=0$，消去${\lambda }_2$：${\lambda }_3{A}^2\alpha +{\lambda }_4{A}^3\alpha +\cdots +{\lambda }_k{A}^{k-1}\alpha =0$。

同理依次左乘$A^n$，所以${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_k=0$，所以$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha$线性无关。

行列式

对向量的线性相关性可以从其向量组组成的行列式来计算，若行列式值为0则线性相关，若行列式值不为0则线性无关。

注意这里容易失根。要仔细找出所有为0的因式，不要随便降低阶数。

例题：设$a_1,a_2,\cdots ,a_s$是$s$个互不相同的数，探究$s$个$n$维列向量${\alpha }_i=[1,a_i,a_i^a,\cdots ,a_i^{n-1}{]}^T$（$i=1,2,\cdots ,s$）的线性相关性。

解：当$s>n$时，有$n$个方程$s$个未知数，所以必然存在自由变量，从而必然线性相关性。

当$s=n$时，$|{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n|=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1⩽j⩽i⩽n}(a_i-a_j)\ne 0$。所以线性无关。

当$s<n$时，对方程矩阵切割保留方形的$s$个$=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right|$，上面因为范德蒙德行列式已经不等于0，即上面的方阵线性无关，原来无关延长无关，所以整个方程都线性无关。

综上当$s>n$时线性相关，$s⩽n$时线性无关。

矩阵秩

当向量的个数与维数不同时就不能使用行列式去分析，而只能用矩阵的秩来分析。当矩阵满秩则线性无关，当矩阵降秩则线性相关。

当谈到多个向量是否线性相关时可以将向量组组成矩阵，判断其秩。满秩就是线性无关，降秩就是线性相关。

当谈到一个向量是否能被其他向量线性表出时，要将这些向量全部组成一起，判断能否被其他向量表出的向量放在最右边，然后判断增广矩阵的秩。

1. 若$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots )\ne r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,\beta )$，则$\beta$无法被$\alpha$线性表出。
2. 若$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots )=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,\beta )<r$，则$\beta$可以被$\alpha$无穷线性表出。表达式为基础解系。
3. 若$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots )=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,\beta )=r$，则$\beta$可以被$\alpha$惟一线性表出。表达式为将矩阵化为单位矩阵后$\beta$所在就是$\alpha$的系数。

例题：已知${\alpha }_1=(1,2,1{)}^T$，${\alpha }_2(2,3,a{)}^T$，${\alpha }_3=(1,a+2,-2{)}^T$，$\beta =(1,3,0{)}^T$，若$\beta$可以由${\alpha }_1$、${\alpha }_2$，${\alpha }_3$线性表示，且表示法不唯一，求$a$。

解：设$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_2{\alpha }_3=\beta$，由$\beta$可以由${\alpha }_1$、${\alpha }_2$，${\alpha }_3$线性表示，且表示法不唯一可知$Ax=\beta$有无穷解，即$r(A)=r(A|B)<3$。

$=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|\beta ]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 2& 3& a+2& 3\\ 1& a& -2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& -1& a& 1\\ 0& 0& a^2-2a-3& a-3\end{array}\right]$。

$\therefore a=3$。

线性表出

极大线性无关组

💻 计算机专业视角

引导句：极大线性无关组就是向量组里挑出的一组「基」——用最少的向量张成同一个空间，个数恰好是秩 $r$。这等价于数据降维 / 特征选择：从一堆相关特征里选出一组互不冗余的代表，其余的都能用它们线性组合还原。最简行阶梯形里「主元列」对应的原始列向量就是一个极大无关组，这正是 QR 分解里列主元（column-pivoting）选基的思想。

🌱 大一新生提示

一句话提示：求极大线性无关组三步走：①拼成矩阵做行变换化最简阶梯形，看秩 $r$；②每个台阶（主元）所在的那一列，对应回原向量就是一个极大无关组；③其余向量用这组基去表示。切记：这一步只能做行变换，不能做列变换——列变换会改变方程的解，导致表示关系错乱。

极大线性无关组一般与向量组秩在一起使用。一般解出极大线性无关组与秩，还要用极大线性无关组表示出其余的向量，基本步骤：

1. 将向量组拼接为矩阵$A$，对$A$进行初等行变换，化为最简行阶梯形矩阵，确定矩阵秩$r(A)$。
2. 在最简行阶梯矩阵中按列找出一个秩为$r(A)$的子矩阵，即在每个台阶上找一列列向量，找$r(A)$列构成一个新矩阵，其就是一个极大线性无关组。
3. 将其余向量依次与极大线性无关组进行对比解出表示方法。

注意：求向量组的秩可以进行初等变换，包括行变换和列变换。但是求极大线性无关组时最好只使用行变换，因为列变换会改变方程的解。从而解方程组只能做行变换。

向量组线性标出

若对于多个向量组成的向量组$B$是否能线性表出向量组$A$（而不是单个向量$\alpha$），把$A$和$B$合并，则若合并后的向量组$C$的秩大于$B$的，那么向量组$B$不能线性表示向量组$A$。

解决方法跟单个向量表出一样，将$B$和$A$合并为增广矩阵，然后进出行变换。

也给出这样的结论，若$B$自身线性相关，则无法线性表出其他矩阵。

例题：设向量组${\alpha }_1=(1,0,1{)}^T$、${\alpha }_2=(0,1,1{)}^T$、${\alpha }_3=(1,3,5{)}^T$不能由向量组${\beta }_1=(1,1,1{)}^T$、${\beta }_2=(1,2,3{)}^T$、${\beta }_3=(3,4,a{)}^T$线性表示，求$a$。

解：已知题目，则$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$线性相关。

对其行变换，解得$a=5$。

向量线性表示

即要求$\beta$关于${\alpha }_i$的线性表出表达式。

基本方法是设$\beta =a{\alpha }_1+b{\alpha }_2+\cdots$，然后每行代入求出，不过也可以使用矩阵变换法。

可以同时求多个$\beta$的表示方式，设${\alpha }_i$为长度为$h$的列向量，一共有$n$个，组成$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$，设${\beta }_i$为长度为$h$的列向量，一共有$n$个，组成$B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$。

$[A|B]$通过线性变换得到$[E|C]$，则$B=CA$。

例题：用${\alpha }_1=(1,1,1{)}^T$、${\alpha }_2=(1,2,4{)}^T$、${\alpha }_3=(1,3,9{)}^T$表示$\beta =(1,1,3{)}^T$。

解：组成矩阵$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 1\\ 1& 4& 9& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$，所以$\beta =2{\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3$。

等价向量组

$r(A)=r(B)=r(A|B)$，所以需要计算三个向量组构成的矩阵的秩就可以了。

例题：设向量组$\alpha$：${\alpha }_1=[1,0,2{]}^T$，${\alpha }_2=[0,1,1{]}^T$，${\alpha }_3=[2,-1,a+4{]}^T$，向量组$\beta$：${\beta }_1=[1,2,4{]}^T$，${\beta }_2=[1,-1,a+2{]}^T$，${\beta }_3=[3,3,10{]}^T$。

矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -1\\ 2& 1& a+4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& -1& 3\\ 4& a+2& 10\end{array}\right)$。

(1)$AB$是否等价。

(2)向量组$AB$是否等价。

(1)解：化简$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& a+1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right)$

若$a\ne -1$，则$r(A)=3$，且$a\ne 0$，则$r(B)=3$，此时$AB$等价。

若$a=-1$，则$r(A)=2$，$r(B)=3$，$AB$不等价。

若$a=0$，则$r(B)=2$，$r(A)=2$，$AB$不等价。

(2)解：因为向量组$\alpha$拼接在一起就是$A$，$\beta$拼接在一起就是$B$，所以$r(\alpha )=r(A)$，$r(\beta )=r(B)$，$r(\alpha |\beta )=r(A|B)$。

将$AB$拼在一起做行变换，得到$(A|B)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& 1& 1& 3\\ 0& 1& -1& 2& -1& 3\\ 0& 0& a+1& 0& a+1& 1\end{array}\right)$。

若$a\ne -1\ne 0$，则$r(A)=r(B)=r(A|B)$。向量组等价。

若$a=-1$或$a=0$，则$r(A)\ne r(B)$，所以不等价。

向量空间

💻 计算机专业视角

引导句：同一个向量在不同基下有不同坐标，过渡矩阵就是两套坐标之间的「翻译器」——这是图形学和 PCA 的日常操作：旋转相机、世界坐标↔相机坐标的切换，本质都是乘一个过渡（变换）矩阵；PCA 把数据从原始坐标变到「主成分基」下，用的也是这套基变换。记住 $x=Cy$ 这条坐标变换公式，配合「基变换 $\eta =\xi C$」，就能在任意两套基之间自由换算。

🌱 大一新生提示

一句话提示：分清两件事：「基」是一组打底的向量，「坐标」是某个向量用这组基表示时的系数。同一个向量换一组基，坐标就变了。两组基 $\xi$、$\eta$ 之间用过渡矩阵 $C$ 联系：基满足 $\eta =\xi C$，而坐标满足 $x=Cy$（注意基和坐标的变换方向相反）。考试遇到「求过渡矩阵」就是解 $\eta =\xi C$，即 $C={\xi }^{-1}\eta$。

基坐标

对于任意向量$\alpha ={\xi }_i{x}_i={\eta }_i{y}_i$，${\xi }_i$、${\eta }_i$为基，$x_i$、$y_i$为向量基${\xi }_i$、${\eta }_i$下的坐标。

过渡矩阵

对于两个基${\eta }_i$、${\xi }_i$，${\eta }_i={\xi }_{i}C$的$C$为${\xi }_i$到${\eta }_i$的过渡矩阵，该式子为基变换公式。

所以得到$x=Cy$，这个公式为坐标变换公式。